2 Exercício
Para um sistema com dois níveis de energia acessíveis,
, com
, determine:
(a) a função de partição canônica,
, e a energia livre de Helmholtz,
;
(b) a entropia por partícula como função da temperatura,
;
©
valor de
no limite
e interprete esse resultado segundo a interpretação estatística da entropia e das probabilidades dos níveis de energia.
(a) a função de partição canônica,
(b) a entropia por partícula como função da temperatura,
©
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema com dois níveis de energia acessíveis,
, e pede (a) a função de partição canônica
e a energia livre de Helmholtz
, (b) a entropia por partícula
e © o limite
de
com interpretação estatística. Vamos usar conceitos de mecânica estatística canônica: definição de
, relação
e
.
Passo 2
Para encontrar a função de partição, lembramos que em um sistema com dois níveis
e
e temperatura
, definimos
. Assim
Passo 3
Em seguida, a energia livre de Helmholtz por partícula é
Passo 4
Para achar a entropia usamos
. Calculando a derivada:
Passo 5
Por fim, no limite
temos
, logo
Passo 6
Isso faz sentido estatisticamente porque, para
, só o nível de energia zero fica populado com probabilidade 1, resultando em entropia nula (um único microestado acessível).
Resposta
(a) Z=1+e^{-\beta\varepsilon}, \quad f=-kT\ln(1+e^{-\beta\varepsilon}).
(b) s(T)=k\ln\bigl(1+e{-\beta\varepsilon}\bigr)+k\beta\varepsilon\dfrac{e{-\beta\varepsilon}}{1+e^{-\beta\varepsilon}}.
© No limite \varepsilon\to\infty, s\to0, pois o sistema está confinadíssimo no único microestado de energia zero, gerando entropia nula.
(b) s(T)=k\ln\bigl(1+e{-\beta\varepsilon}\bigr)+k\beta\varepsilon\dfrac{e{-\beta\varepsilon}}{1+e^{-\beta\varepsilon}}.
© No limite \varepsilon\to\infty, s\to0, pois o sistema está confinadíssimo no único microestado de energia zero, gerando entropia nula.