2 Exercício

Para um sistema com dois níveis de energia acessíveis, E in0, varepsilon, com varepsilon>0, determine:
(a) a função de partição canônica, Z, e a energia livre de Helmholtz, f;
(b) a entropia por partícula como função da temperatura, s(T);
© o valor de s(T) no limite varepsilon infty e interprete esse resultado segundo a interpretação estatística da entropia e das probabilidades dos níveis de energia.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema com dois níveis de energia acessíveis, Ein0,varepsilon, e pede (a) a função de partição canônica Z e a energia livre de Helmholtz f, (b) a entropia por partícula s(T) e © o limite varepsilontoinfty de s(T) com interpretação estatística. Vamos usar conceitos de mecânica estatística canônica: definição de Z, relação f=-kTln Z e s=-partial f/partial T.

Passo 2

Para encontrar a função de partição, lembramos que em um sistema com dois níveis E0=0 e E1=varepsilon e temperatura T, definimos beta=1/(kT). Assim
Z=sumie^-beta Ei=e^-betacdot0+e^-betavarepsilon=1+e^-betavarepsilon

Passo 3

Em seguida, a energia livre de Helmholtz por partícula é
f=-1betaln Z=-kTlnl(1+e^-betavarepsilonr)

Passo 4

Para achar a entropia usamos s=-partial fpartial T. Calculando a derivada:
s=klnl(1+e^-betavarepsilonr)+k,betavarepsilone^-betavarepsilon1+e^-betavarepsilon

Passo 5

Por fim, no limite varepsilontoinfty temos e^-betavarepsilonto0, logo
sto kln1+ k,betavarepsiloncdot0=0

Passo 6

Isso faz sentido estatisticamente porque, para varepsilontoinfty, só o nível de energia zero fica populado com probabilidade 1, resultando em entropia nula (um único microestado acessível).

Resposta

(a) Z=1+e^{-\beta\varepsilon}, \quad f=-kT\ln(1+e^{-\beta\varepsilon}).
(b) s(T)=k\ln\bigl(1+e{-\beta\varepsilon}\bigr)+k\beta\varepsilon\dfrac{e{-\beta\varepsilon}}{1+e^{-\beta\varepsilon}}.
© No limite \varepsilon\to\infty, s\to0, pois o sistema está confinadíssimo no único microestado de energia zero, gerando entropia nula.

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