A partir do número de estados do modelo do Sólido de Einstein utilize o ensemble microcanônico para:
(a) determinar a entropia específica s(u),
(b) determinar u(T), mostrando a energia de ponto zero no limite de baixas temperaturas e que a energia interna satisfaz o princípio da equipartição de energia no limite de altas temperaturas,
© mostre que o calor específico se anula no limite de baixas temperaturas (satisfazendo a 3^ a Lei da termodinâmica, ao contrário do caso clássico).

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: estamos com um sólido de Einstein no ensemble microcanônico. Precisamos usar a contagem de microestados do modelo (Ω = número de formas de distribuir n quanta em f = 3N osciladores), a definição de entropia S = k ln Ω, a aproximação de Stirling e a relação termodinâmica 1/T = ∂S/∂U para extrair entropia, energia interna e calor específico.

Passo 2

Contagem de microestados e entropia: definimos f = 3N osciladores e n = U/(ħω) quanta. O número de microestados é
[Ω(n,f)=\frac{(n+f-1)!}{n!,(f-1)!}]
Aplicando Stirling para grandes n e f, obtemos
[S(U)\approx k\bigl[(n+f)\ln(n+f)-n\ln n-f\ln f\bigr].]

Passo 3

Cálculo da entropia específica s(u): dividimos S por f e usamos u = U/f. Com n/f = u/(ħω) e (n+f)/f = u/(ħω)+1, chegamos a:
[s(u)=k\bigl[\bigl(\tfrac{u}{\hbar\omega}+1\bigr)\ln\bigl(\tfrac{u}{\hbar\omega}+1\bigr)-\tfrac{u}{\hbar\omega}\ln\bigl(\tfrac{u}{\hbar\omega}\bigr)\bigr].]

Passo 4

Relação temperatura e energia interna: usamos
[\frac{1}{T}=\frac{\partial s}{\partial u}]
Calculando a derivada, achamos
[\frac{1}{T}=\frac{k}{\hbar\omega}\ln\frac{u+\hbar\omega}{u}.]
Invertendo e definindo a energia de excitação u_ex, vem
[u_{\rm ex}(T)=\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/(kT)}-1}.]
Somando a energia de ponto zero por oscilador,
[u(T)=\frac{\hbar\omega}{2}+\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/(kT)}-1}.]
No limite T\to0, u\to\hbar\omega/2; para T\to\infty, u_{\rm ex}\simeq kT (equipartição).

Passo 5

Cálculo do calor específico: como u_ex depende de T, temos
[c_v=\frac{du}{dT}=k\left(\frac{\hbar\omega}{kT}\right)2\frac{e{\hbar\omega/(kT)}}{(e{\hbar\omega/(kT)}-1)2}.]
Para T\to0, c_v\sim e^{-\hbar\omega/(kT)}\to0 (3ª Lei); para T\to\infty, c_v\to k.

Resposta

(a) Entropia específica:
[s(u)=k\Bigl[\bigl(\tfrac{u}{\hbar\omega}+1\bigr)\ln\bigl(\tfrac{u}{\hbar\omega}+1\bigr)-\tfrac{u}{\hbar\omega}\ln\bigl(\tfrac{u}{\hbar\omega}\bigr)\Bigr].]
(b) Energia interna (incluindo ponto zero):
[u(T)=\frac{\hbar\omega}{2}+\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/(kT)}-1},]
com u\to\hbar\omega/2 para T\to0 e u_{\rm ex}\to kT para T\to\infty (equipartição).
© Calor específico:
[c_v=k\Bigl(\tfrac{\hbar\omega}{kT}\Bigr)2\frac{e{\hbar\omega/(kT)}}{(e{\hbar\omega/(kT)}-1)2}\to0\quad( T\to0).]

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