Exercício 5: Usando as propriedades dos limites, diga se as funções abaixo são contínuas nos pontos dados.
(c) f(x)=\left\{\begin{array}{c}2-x, \text { se } x<1 \\\\ 1, \text { se } x=1 \\\ x^{2}-\sqrt{x}, \text { se } x>1\end{array}\right. em x=1

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida por partes
f(x)= \begin{cases} 2 - x, & x < 1,\\\\ 1, & x = 1,\\\ x^{2} - \sqrt{x}, & x > 1, \end{cases}
e pede para verificar a continuidade em x=1.
Para isso, vamos usar que f é contínua em 1 se, e somente se,
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1).

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda. Como 2 - x é uma função polinomial (logo contínua) em todo lugar, temos
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}(2 - x) =2 - 1 =1.

Passo 3

Calcular o limite pela direita. A função x^{2}-\sqrt{x} é combinação de polinômio e raiz quadrada, contínua para x>0. Logo
\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}\bigl(x^{2}-\sqrt{x}\bigr) =1^{2}-\sqrt{1} =1 - 1 =0.

Passo 4

Comparando os limites laterais e o valor de f em 1:
\lim_{x\to1^-}f(x)=1,\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=0,\quad f(1)=1.
Como \lim_{x\to1^-}f(x)\neq\lim_{x\to1^+}f(x), o limite geral \lim_{x\to1}f(x) não existe. Portanto f não é contínua em x=1.

Resposta

A função não é contínua em x=1.

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