Exercício 5. Usando o teorema da convolução, obtenha:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a transformada inversa de Laplace
Informações dadas que vamos usar: a função no domínio de
é o produto de duas frações simples
Não vou resolver nada ainda neste passo — só identifiquei a expressão e a decomposição em produto.
Passo 2
Método escolhido: o enunciado exige explicitamente o uso do teorema da convolução, então vamos aplicá‑lo. Breve explicação intuitiva do porquê: o teorema diz que o produto no domínio de
corresponde a uma convolução no domínio do tempo, e aqui temos exatamente um produto de duas funções simples cuja inversa é conhecida — isso torna o cálculo bem direto.
Passo 3
Enunciado do teorema da convolução (forma que vamos usar): se
então
Aqui as variáveis significam:
é a variável de tempo onde queremos a função inversa,
é a variável de integração (tempo intermediário). Vamos identificar
e
e suas inversas:
porque
. E
porque a propriedade de deslocamento diz que
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da convolução, a função desejada
é
Aqui a integranda vem de
e
.
Passo 5
Vamos simplificar a integral. Observe que
, então podemos pôr
fora da integral:
Defina
Expandindo
obtemos
Passo 6
Calcule a primeira integral por partes:
seja e
. Então
e
. Assim
seja
Avaliada de
a
resulta
Passo 7
Calcule a segunda integral por partes também:
seja e
. Então
e
. Assim
seja
Usamos o resultado anterior para
, logo
Avaliada de
a
dá
Passo 8
Voltemos a
:
Desenvolvendo e agrupando termos com
e os constantes:
Calcule o coeficiente de
:
Portanto
Passo 9
Agora substituímos em
:
Podemos checar rapidamente: em
obtemos
, coerente com transformada original (não é singular no tempo).