Exercício 5. Usando o teorema da convolução, obtenha:
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^{2}(s+1)^{2}}\right]

Passo 1

O que o problema pede: calcular a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{1}{s^{2}(s+1)^{2}}\right].
Informações dadas que vamos usar: a função no domínio de s é o produto de duas frações simples
\frac{1}{s^{2}(s+1)^{2}}=\frac{1}{s^{2}}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}}.
Não vou resolver nada ainda neste passo — só identifiquei a expressão e a decomposição em produto.

Passo 2

Método escolhido: o enunciado exige explicitamente o uso do teorema da convolução, então vamos aplicá‑lo. Breve explicação intuitiva do porquê: o teorema diz que o produto no domínio de s corresponde a uma convolução no domínio do tempo, e aqui temos exatamente um produto de duas funções simples cuja inversa é conhecida — isso torna o cálculo bem direto.

Passo 3

Enunciado do teorema da convolução (forma que vamos usar): se
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\},\qquad G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\},
então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\}=(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Aqui as variáveis significam: t é a variável de tempo onde queremos a função inversa, \tau é a variável de integração (tempo intermediário). Vamos identificar F e G e suas inversas:
F(s)=\frac{1}{s^{2}}\quad\Rightarrow\quad f(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{1}{s^{2}}\right]=t,
porque \mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^{2}}. E
G(s)=\frac{1}{(s+1)^{2}}\quad\Rightarrow\quad g(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{1}{(s+1)^{2}}\right]=t e^{-t},
porque a propriedade de deslocamento diz que \mathcal{L}\{t e^{-t}\}=\dfrac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da convolução, a função desejada h(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left[\dfrac{1}{s^{2}(s+1)^{2}}\right] é
h(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau=\int_{0}^{t} \tau\,(t-\tau)\,e^{-(t-\tau)}\,d\tau.
Aqui a integranda vem de f(\tau)=\tau e g(t-\tau)=(t-\tau)e^{-(t-\tau)}.

Passo 5

Vamos simplificar a integral. Observe que e^{-(t-\tau)}=e^{-t}e^{\tau}, então podemos pôr e^{-t} fora da integral:
h(t)=e^{-t}\int_{0}^{t} \tau (t-\tau)e^{\tau}\,d\tau.
Defina
I(t)=\int_{0}^{t} \tau (t-\tau)e^{\tau}\,d\tau.
Expandindo \tau(t-\tau)=t\tau-\tau^{2} obtemos
I(t)=t\int_{0}^{t}\tau e^{\tau}\,d\tau-\int_{0}^{t}\tau^{2}e^{\tau}\,d\tau.

Passo 6

Calcule a primeira integral por partes:
seja u=\tau e dv=e^{\tau}d\tau. Então du=d\tau e v=e^{\tau}. Assim
\int \tau e^{\tau}\,d\tau=\tau e^{\tau}-\int e^{\tau}\,d\tau=(\tau-1)e^{\tau}+C.
Avaliada de 0 a t resulta
\int_{0}^{t}\tau e^{\tau}\,d\tau=(t-1)e^{t}-(-1)e^{0}=(t-1)e^{t}+1.

Passo 7

Calcule a segunda integral por partes também:
seja u=\tau^{2} e dv=e^{\tau}d\tau. Então du=2\tau d\tau e v=e^{\tau}. Assim
\int \tau^{2}e^{\tau}\,d\tau=\tau^{2}e^{\tau}-\int 2\tau e^{\tau}\,d\tau.
Usamos o resultado anterior para \int \tau e^{\tau}\,d\tau, logo
\int \tau^{2}e^{\tau}\,d\tau=\tau^{2}e^{\tau}-2(\tau-1)e^{\tau}=(\tau^{2}-2\tau+2)e^{\tau}+C.
Avaliada de 0 a t
\int_{0}^{t}\tau^{2}e^{\tau}\,d\tau=(t^{2}-2t+2)e^{t}-2.

Passo 8

Voltemos a I(t):
I(t)=t\big[(t-1)e^{t}+1\big]-\big[(t^{2}-2t+2)e^{t}-2\big].
Desenvolvendo e agrupando termos com e^{t} e os constantes:
I(t)=\big(t(t-1)-(t^{2}-2t+2)\big)e^{t}+(t+2).
Calcule o coeficiente de e^{t}:
t(t-1)-(t^{2}-2t+2)=(t^{2}-t)-(t^{2}-2t+2)=t-2.
Portanto
I(t)=(t-2)e^{t}+(t+2).

Passo 9

Agora substituímos em h(t)=e^{-t}I(t):
h(t)=e^{-t}\big((t-2)e^{t}+(t+2)\big)=(t-2)+(t+2)e^{-t}.
Podemos checar rapidamente: em t=0 obtemos h(0)=0, coerente com transformada original (não é singular no tempo).

Resposta

\,t-2+(t+2)e^{-t}\,

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