Exercício 2. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial ( V,+, \cdot ).
V=\mathbb{R}^{3}, munido das operações usuais e W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) ;-x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=0\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3} com as operações usuais e o subconjunto
W=\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in\mathbb{R}^{3}\;|\;-x_{1}+2x_{2}-x_{3}=0\right\}.
A pergunta é: verificar se W é um subespaço vetorial de V.
Informações relevantes fornecidas:
  • V=\mathbb{R}^{3} com soma e multiplicação por escalar usuais.
  • W é o conjunto de vetores de \mathbb{R}^{3} que satisfazem a equação linear -x_{1}+2x_{2}-x_{3}=0.

Passo 2

Definição prática que vamos usar (explicada passo a passo): para mostrar que um subconjunto W\subseteq V é subespaço vetorial, basta verificar três propriedades:
  1. W não é vazio (normalmente mostramos que o vetor nulo está em W).
  2. Fechamento por soma: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R}, então c\cdot u\in W.
Por que isso funciona (explicação intuitiva): um subespaço é um conjunto que está “fechado” sob as operações do espaço; checando essas três condições garantimos que qualquer combinação linear simples (soma e escalares) de vetores de W permanece em W, e isso caracteriza subespaços.

Passo 3

Verificar que o vetor zero está em W. O vetor zero em \mathbb{R}^{3} é (0,0,0). Substituindo na equação que define W:
-0 + 2\cdot 0 - 0 = 0.
Como a igualdade é verdadeira, (0,0,0)\in W. Portanto W não é vazio.

Passo 4

Verificar fechamento por soma (mostrando passo a passo). Seja
u=(u_{1},u_{2},u_{3})\in W\quad\text{e}\quad v=(v_{1},v_{2},v_{3})\in W.
Pelo fato de u e v pertencerem a W temos as igualdades
- u_{1} + 2u_{2} - u_{3} = 0 \qquad\text{e}\qquad - v_{1} + 2v_{2} - v_{3} = 0.
Considere a soma u+v=(u_{1}+v_{1},\,u_{2}+v_{2},\,u_{3}+v_{3}). Calculamos a expressão que define W para u+v:
- (u_{1}+v_{1}) + 2(u_{2}+v_{2}) - (u_{3}+v_{3}).
Desenvolvendo e agrupando:
= (-u_{1}+2u_{2}-u_{3}) + (-v_{1}+2v_{2}-v_{3}).
Cada parêntese é zero (porque u e v estão em W), logo a soma é 0+0=0. Portanto (u+v) satisfaz a equação e assim u+v\in W. Isso prova o fechamento por soma.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar (passo a passo). Seja u=(u_{1},u_{2},u_{3})\in W e seja c\in\mathbb{R} qualquer escalar. Como u\in W temos
- u_{1} + 2u_{2} - u_{3} = 0.
Considere c\cdot u = (c u_{1},\,c u_{2},\,c u_{3}). Calculamos a expressão que define W aplicada a c\cdot u:
- (c u_{1}) + 2(c u_{2}) - (c u_{3}).
Fatorando c:
= c\bigl(-u_{1} + 2u_{2} - u_{3}\bigr).
Como -u_{1}+2u_{2}-u_{3}=0, segue que c\cdot 0 = 0. Então a expressão vale 0, logo c\cdot u\in W. Portanto W é fechado por multiplicação escalar.

Passo 6

Conclusão lógica a partir dos passos anteriores: já mostramos que W contém o vetor nulo, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar. Essas três propriedades são suficientes para concluir que W é um subespaço vetorial de V.
Comentário didático extra (opcional para compreensão): a condição -x_{1}+2x_{2}-x_{3}=0 define uma aplicação linear L:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} dada por
L(x_{1},x_{2},x_{3}) = -x_{1}+2x_{2}-x_{3}.
O conjunto W é justamente o núcleo de L (ou seja, W=\ker L), e o núcleo de qualquer aplicação linear é sempre um subespaço vetorial — por isso essa verificação algébrica fica bem natural. Geometricamente, W é um plano (passando pela origem) em \mathbb{R}^{3} perpendicular ao vetor normal (-1,2,-1).

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de V.