Exercício 2. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial (
).
, munido das operações usuais e
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com as operações usuais e o subconjunto
A pergunta é: verificar se
é um subespaço vetorial de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
com soma e multiplicação por escalar usuais. -
é o conjunto de vetores de que satisfazem a equação linear .
Passo 2
Definição prática que vamos usar (explicada passo a passo): para mostrar que um subconjunto
é subespaço vetorial, basta verificar três propriedades:
-
não é vazio (normalmente mostramos que o vetor nulo está em ). - Fechamento por soma: se
e , então . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e , então .
Por que isso funciona (explicação intuitiva): um subespaço é um conjunto que está “fechado” sob as operações do espaço; checando essas três condições garantimos que qualquer combinação linear simples (soma e escalares) de vetores de
permanece em
, e isso caracteriza subespaços.
Passo 3
Verificar que o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação que define
:
Como a igualdade é verdadeira,
. Portanto
não é vazio.
Passo 4
Verificar fechamento por soma (mostrando passo a passo). Seja
Pelo fato de
e
pertencerem a
temos as igualdades
Considere a soma
. Calculamos a expressão que define
para
:
Desenvolvendo e agrupando:
Cada parêntese é zero (porque
e
estão em
), logo a soma é
. Portanto
satisfaz a equação e assim
. Isso prova o fechamento por soma.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar (passo a passo). Seja
e seja
qualquer escalar. Como
temos
Considere
. Calculamos a expressão que define
aplicada a
:
Fatorando
:
Como
, segue que
. Então a expressão vale
, logo
. Portanto
é fechado por multiplicação escalar.
Passo 6
Conclusão lógica a partir dos passos anteriores: já mostramos que
contém o vetor nulo, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar. Essas três propriedades são suficientes para concluir que
é um subespaço vetorial de
.
Comentário didático extra (opcional para compreensão): a condição
define uma aplicação linear
dada por
O conjunto
é justamente o núcleo de
(ou seja,
), e o núcleo de qualquer aplicação linear é sempre um subespaço vetorial — por isso essa verificação algébrica fica bem natural. Geometricamente,
é um plano (passando pela origem) em
perpendicular ao vetor normal
.
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
.