- Exercícios 08:
Se
e
, determine
.
Passo 1
O enunciado dá duas tensões no tempo e pede a soma
. Informações fornecidas:
-
. -
.
O que precisamos entregar: escrever
como uma única função harmónica (uma só amplitude e uma só fase, com a mesma
) — por exemplo da forma
.
Passo 2
Estratégia e ideia principal (explicação do método, passo a passo):
- Para somar duas senóides com a mesma frequência é prático convertê‑las para a mesma referência trigonométrica (por exemplo, ambas em cosseno) e então somá‑las usando fasores. Vou explicar cada identidade usada.
- Identidade útil: a relação entre seno e cosseno é
- Em representação fasorial: uma expressão
corresponde ao fasor . Para somar, transformamos cada termo ao seu fasor (com componentes real e imaginária), somamos as componentes e voltamos para a forma no tempo.
Não se preocupa se isso parece novo — eu vou mostrar cada conta detalhadamente.
Passo 3
Converter
para cosseno (usar a identidade seno→cosseno):
Portanto
Multiplicar por
pode ser visto como somar
à fase:
Logo, reescrevemos
Passo 4
Reescrever
(já está em cosseno):
Agora temos duas cossenos com a mesma frequência:
Passo 5
Explicação do passo fasorial e como obter componentes retangulares:
- Um termo
corresponde ao fasor . Para somar fasores é conveniente passar para componentes retangulares (parte real e imaginária):
- Essas componentes vêm de escrever
. A soma fasorial é soma de partes reais e soma de partes imaginárias.
Vou calcular as componentes de cada fasor usando valores trigonométricos conhecidos:
Passo 6
Calcular componentes (retangulares) de cada termo:
- Para
:
- Para
:
Somando as partes reais e imaginárias:
Passo 7
Calcular a amplitude resultante
(módulo do fasor resultante):
Fatorando
e desenvolvendo, obtém‑se uma forma mais limpa:
Calculando as somas dentro do colchete:
Logo
Valor numérico aproximado:
Passo 8
Calcular a fase
do fasor resultante:
Simplificando o quociente (dividindo numerador e denominador por
):
Avaliação numérica desta expressão dá
(Verificação: o quociente numérico é aproximadamente
, cujo arco-tangente em graus é
com boa precisão.)
Passo 9
Escrever a soma no domínio do tempo: a forma comum é
Substituindo os valores encontrados:
forma exata:
forma exata:
forma aproximada (mais prática para a prova):