• Exercícios 08:
Se \quad v_{1}(t)=-10 \cdot \operatorname{sen}\left(\omega t-30^{\circ}\right) V \quad e \quad v_{2}(t)=20 \cdot \cos \left(\omega t+45^{\circ}\right) V, determine v=v_{1}+v_{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas tensões no tempo e pede a soma v(t)=v_{1}(t)+v_{2}(t). Informações fornecidas:
  • v_{1}(t)=-10\cdot \operatorname{sen}\!\left(\omega t-30^{\circ}\right)\\ \text{V}.
  • v_{2}(t)=20\cdot \cos\!\left(\omega t+45^{\circ}\right)\\ \text{V}.
O que precisamos entregar: escrever v(t) como uma única função harmónica (uma só amplitude e uma só fase, com a mesma \omega t) — por exemplo da forma \,V_m\cos(\omega t+\varphi)\,.

Passo 2

Estratégia e ideia principal (explicação do método, passo a passo):
  • Para somar duas senóides com a mesma frequência é prático convertê‑las para a mesma referência trigonométrica (por exemplo, ambas em cosseno) e então somá‑las usando fasores. Vou explicar cada identidade usada.
  • Identidade útil: a relação entre seno e cosseno é
\operatorname{sen}(x)=\cos\!\left(x-90^{\circ}\right).
  • Em representação fasorial: uma expressão A\cos(\omega t+\theta) corresponde ao fasor A\angle\theta. Para somar, transformamos cada termo ao seu fasor (com componentes real e imaginária), somamos as componentes e voltamos para a forma no tempo.
Não se preocupa se isso parece novo — eu vou mostrar cada conta detalhadamente.

Passo 3

Converter v_{1}(t) para cosseno (usar a identidade seno→cosseno):
\operatorname{sen}\!\left(\omega t-30^{\circ}\right)=\cos\!\left(\omega t-30^{\circ}-90^{\circ}\right)=\cos\!\left(\omega t-120^{\circ}\right).
Portanto
v_{1}(t)=-10\cos\!\left(\omega t-120^{\circ}\right)\\ \text{V}.
Multiplicar por -1 pode ser visto como somar 180^{\circ} à fase:
-10\cos\!\left(\omega t-120^{\circ}\right)=10\cos\!\left(\omega t-120^{\circ}+180^{\circ}\right)=10\cos\!\left(\omega t+60^{\circ}\right).
Logo, reescrevemos
v_{1}(t)=10\cos\!\left(\omega t+60^{\circ}\right)\\ \text{V}.

Passo 4

Reescrever v_{2}(t) (já está em cosseno):
v_{2}(t)=20\cos\!\left(\omega t+45^{\circ}\right)\\ \text{V}.
Agora temos duas cossenos com a mesma frequência:
v(t)=10\cos\!\left(\omega t+60^{\circ}\right)+20\cos\!\left(\omega t+45^{\circ}\right).

Passo 5

Explicação do passo fasorial e como obter componentes retangulares:
  • Um termo A\cos(\omega t+\theta) corresponde ao fasor A\angle\theta. Para somar fasores é conveniente passar para componentes retangulares (parte real e imaginária):
A\angle\theta \longleftrightarrow A\cos\theta\;(\text{parte real})\quad\text{e}\quad A\sin\theta\;(\text{parte imaginária}).á
  • Essas componentes vêm de escrever A\angle\theta = A(\cos\theta + j\sin\theta). A soma fasorial é soma de partes reais e soma de partes imaginárias.
Vou calcular as componentes de cada fasor usando valores trigonométricos conhecidos:
\cos 60^{\circ}=\tfrac{1}{2},\quad \sin 60^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45^{\circ}=\sin 45^{\circ}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Calcular componentes (retangulares) de cada termo:
  • Para 10\angle 60^{\circ}:
\text{real}_1=10\cos 60^{\circ}=10\cdot\tfrac{1}{2}=5, \qquad \text{imag}_1=10\sin 60^{\circ}=10\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}.
  • Para 20\angle 45^{\circ}:
\text{real}_2=20\cos 45^{\circ}=20\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}, \qquad \text{imag}_2=20\sin 45^{\circ}=10\sqrt{2}.
Somando as partes reais e imaginárias:
\text{real}_{\text{tot}}=5+10\sqrt{2}, \qquad \text{imag}_{\text{tot}}=5\sqrt{3}+10\sqrt{2}.

Passo 7

Calcular a amplitude resultante V_m (módulo do fasor resultante):
V_m=\sqrt{\bigl(\text{real}_{\text{tot}}\bigr)^2+\bigl(\text{imag}_{\text{tot}}\bigr)^2} =\sqrt{(5+10\sqrt{2})^2+(5\sqrt{3}+10\sqrt{2})^2}.
Fatorando 5 e desenvolvendo, obtém‑se uma forma mais limpa:
(5+10\sqrt{2})^2+(5\sqrt{3}+10\sqrt{2})^2 =25\Bigl[(1+2\sqrt{2})^2+(\sqrt{3}+2\sqrt{2})^2\Bigr].
Calculando as somas dentro do colchete:
(1+2\sqrt{2})^2+(\sqrt{3}+2\sqrt{2})^2 =4\bigl(5+\sqrt{2}+\sqrt{6}\bigr).
Logo
V_m=\sqrt{25\cdot 4\bigl(5+\sqrt{2}+\sqrt{6}\bigr)}=10\sqrt{5+\sqrt{2}+\sqrt{6}}.
Valor numérico aproximado:
V_m\approx 10\sqrt{8,8637033}\approx 29,77\\ \text{V}.

Passo 8

Calcular a fase \varphi do fasor resultante:
\varphi=\operatorname{atan2}\!\bigl(\text{imag}_{\text{tot}},\\ \text{real}_{\text{tot}}\bigr) =\arctan\!\left(\dfrac{5\sqrt{3}+10\sqrt{2}}{5+10\sqrt{2}}\right).
Simplificando o quociente (dividindo numerador e denominador por 5):
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}\right).
Avaliação numérica desta expressão dá
\varphi\approx 50^{\circ}.
(Verificação: o quociente numérico é aproximadamente 1{,}1917536, cujo arco-tangente em graus é 50^{\circ} com boa precisão.)

Passo 9

Escrever a soma no domínio do tempo: a forma comum é
v(t)=V_m\cos\!\left(\omega t+\varphi\right).
Substituindo os valores encontrados:
forma exata:
v(t)=10\sqrt{5+\sqrt{2}+\sqrt{6}}\;\cos\!\left(\omega t+\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}\right)\right)\\ \text{V}.
forma aproximada (mais prática para a prova):
v(t)\approx 29,77\cos\!\left(\omega t+50^{\circ}\right)\\ \text{V}.

Resposta

v(t)=10\sqrt{5+\sqrt{2}+\sqrt{6}}\;\cos\!\left(\omega t+\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}\right)\right)\\ \text{V}
v(t)\approx 29,77\cos\!\left(\omega t+50^{\circ}\right)\\ \text{V}

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