Questão 10
Seja X=4 \angle 40^{\circ} e Y=20 \angle-30^{\circ}. Calcule (X+ Y) X^{*} e (X-Y)^{*}

Passo 1

Enunciado e o que se pede (peguei isto do enunciado):
  • Dados: X = 4\angle 40^\circ,\qquad Y = 20\angle -30^\circ.
  • Pedidos:
    1. Calcular (X+Y)X^{*}.
    2. Calcular (X-Y)^{*}.

Passo 2

Relembrando fórmulas úteis (aqui ensino a coisa devagarinho):
  • Conversão de forma polar para retangular: se Z = R\angle\theta então Z = R\big(\cos\theta + j\sin\theta\big),onde R é o módulo (positivo) e \theta é o argumento em graus.
  • Conjugado: se Z = x + j y então Z^{*}=x - j y. Em forma polar o conjugado troca o sinal do ângulo: (R\angle\theta)^{*} = R\angle(-\theta).
  • Multiplicação em forma polar: (R_1\angle\theta_1)(R_2\angle\theta_2)=R_1R_2\angle(\theta_1+\theta_2).
  • Produto de um número pelo seu conjugado dá o módulo ao quadrado: Z Z^{*} = |Z|^{2}=R^{2}.
Vou usar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Converter X e Y para a forma retangular (vou calcular seno e cosseno em graus).
  • Para X=4\angle 40^\circ: \cos 40^\circ \approx 0{,}7660444431,\qquad \sin 40^\circ \approx 0{,}6427876097,logo X = 4(\cos 40^\circ + j\sin 40^\circ) = 4\cdot 0{,}7660444431 + j\,4\cdot 0{,}6427876097 = 3{,}0641777724 + j\,2{,}5711504388.
  • Para Y=20\angle -30^\circ: \cos(-30^\circ)=\cos 30^\circ \approx 0{,}8660254038,\qquad \sin(-30^\circ)=-\tfrac{1}{2}=-0{,}5,logo Y = 20(\cos(-30^\circ)+j\sin(-30^\circ)) = 20\cdot 0{,}8660254038 + j\,20\cdot(-0{,}5) = 17{,}3205080766 - j\,10{,}0.

Passo 4

Calcular X^{*} diretamente (usar a propriedade do conjugado em forma polar é mais simples):
X^{*} = (4\angle 40^\circ)^{*} = 4\angle (-40^\circ).
Se precisar em retangular:
X^{*} = 3{,}0641777724 - j\,2{,}5711504388.

Passo 5

Cálculo de (X+Y)X^{*} — ideia inteligente para simplificar:
(X+Y)X^{*} = X X^{*} + Y X^{*} = |X|^{2} + Y X^{*}.
Isso evita multiplicar dois números em coordenadas retangulares logo de cara.
  • Primeiro termo: |X|^{2}=4^{2}=16.
  • Segundo termo: multiplicação em polar é direta. Usando Y=20\angle(-30^\circ) e X^{*}=4\angle(-40^\circ), Y X^{*} = 20\angle(-30^\circ)\cdot 4\angle(-40^\circ) = 80\angle(-70^\circ).
Portanto
(X+Y)X^{*} = 16 + 80\angle(-70^\circ).

Passo 6

Converter 80\angle(-70^\circ) para retangular para obter a resposta em forma padrão:
\cos 70^\circ \approx 0{,}3420201433,\qquad \sin 70^\circ \approx 0{,}9396926208.
Logo
80\angle(-70^\circ)=80(\cos(-70^\circ)+j\sin(-70^\circ))=80(\cos70^\circ - j\sin70^\circ)
=80\cdot 0{,}3420201433 - j\,80\cdot 0{,}9396926208 =27{,}361611464 - j\,75{,}175409664.
Somando com 16:
(X+Y)X^{*} = 16 + \big(27{,}361611464 - j\,75{,}175409664\big) =43{,}361611464 - j\,75{,}175409664.
Arredondando (mantendo 4 casas decimais) para ficar legível:
(X+Y)X^{*} \approx 43{,}3616 - j\,75{,}1754.

Passo 7

Cálculo de (X-Y)^{*}. Uso uma propriedade útil do conjugado:
(X-Y)^{*} = X^{*} - Y^{*}.
Então basta achar X^{*} e Y^{*} e subtrair.
  • Já temos X^{*}=4\angle(-40^\circ), em retangular X^{*}=3{,}0641777724 - j\,2{,}5711504388.
  • Y^{*}=(20\angle -30^\circ)^{*}=20\angle 30^\circ. Em retangular: Y^{*} = 20(\cos 30^\circ + j\sin 30^\circ) = 17{,}3205080766 + j\,10{,}0.
Agora subtrair:
X^{*}-Y^{*} = (3{,}0641777724 - 17{,}3205080766) + j(-2{,}5711504388 - 10{,}0)
= -14{,}2563303042 - j\,12{,}5711504388.
Arredondando para 4 casas decimais:
(X-Y)^{*} \approx -14{,}2563 - j\,12{,}5712.

Passo 8

Resumo das formas (opcional para checar consistência):
  • (X+Y)X^{*} foi calculado usando |X|^{2}+Y X^{*} com Y X^{*} em polar; convertido para retangular.
  • (X-Y)^{*} foi obtido por X^{*}-Y^{*} (propriedade do conjugado), com ambos em retangular.

Resposta

(X+Y)X^{*} = 43{,}3616 - j\,75{,}1754
(X-Y)^{*} = -14{,}2563 - j\,12{,}5712

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