Nos Exercícios de 14 a 26 , escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrevermos os quatro primeiros termos da série infinita e determinarmos se ela converge ou diverge. Se convergir, também precisamos encontrar a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são aquelas em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante. Nesse caso, nossa constante é .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os quatro primeiros termos da série. A série começa com , então substituímos esse valor na expressão geral:
Quando :
Quando :
Quando :
Quando :
Então, os quatro primeiros termos são , , e .
Passo 3
Agora, vamos verificar se a série converge ou diverge. Estamos lidando com uma série geométrica da forma , onde é o primeiro termo e é a razão.
No nosso caso, o primeiro termo e a razão .
Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1. Aqui, , então a série converge.
Passo 4
Como a série converge, podemos calcular a soma da série infinita usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
S = a1 - r
Onde:
a é o primeiro termo
r é a razão
Substituindo os valores que temos:
S = 231 - 23 = 2313 = 2
Resposta
Os quatro primeiros termos da série são 23, 49, 827 e 1681. A série converge e a soma dela é 2.