Nos Exercícios de 14 a 26 , escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
sumn=1^+infty(23)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrevermos os quatro primeiros termos da série infinita sumn=1^+infty(23)^n e determinarmos se ela converge ou diverge. Se convergir, também precisamos encontrar a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são aquelas em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante. Nesse caso, nossa constante é 23.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os quatro primeiros termos da série. A série começa com n=1, então substituímos esse valor na expressão geral:
  • Quando n=1: (23)^1 = 23
  • Quando n=2: (23)^2 = 49
  • Quando n=3: (23)^3 = 827
  • Quando n=4: (23)^4 = 1681
Então, os quatro primeiros termos são 23, 49, 827 e 1681.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a série converge ou diverge. Estamos lidando com uma série geométrica da forma sumn=1^+infty ar^n-1, onde a é o primeiro termo e r é a razão.
No nosso caso, o primeiro termo a = (23)^1 = 23 e a razão r = 23.
Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão |r| for menor que 1. Aqui, |r| = |23| = 23 < 1, então a série converge.

Passo 4

Como a série converge, podemos calcular a soma da série infinita usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
S = a1 - r
Onde:
  • a é o primeiro termo
  • r é a razão
Substituindo os valores que temos:
S = 231 - 23 = 2313 = 2

Resposta

Os quatro primeiros termos da série são 23, 49, 827 e 1681. A série converge e a soma dela é 2.

Exercícios relacionados