Nos Exercícios 7-14, calcule a derivada.
\mathbf{r}(t)=\left\langle t-t^{-1}, 4 t^{2}, 8\right\rangle

Passo 1

O enunciado dá o vetor função \mathbf{r}(t) e pede para calcular a sua derivada:
\mathbf{r}(t)=\left\langle t-t^{-1},\;4 t^{2},\;8\right\rangle.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função vetorial tem três componentes: primeira componente t-t^{-1}, segunda componente 4 t^{2} e terceira componente 8.
  • A pergunta é: calcular \mathbf{r}'(t), a derivada vetor-por-vetor da função dada.

Passo 2

Breve observação sobre como proceder (não é solução ainda, só o que vamos fazer): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
\mathbf{r}(t)=\langle f(t),\,g(t),\,h(t)\rangle,
então
\mathbf{r}'(t)=\langle f'(t),\,g'(t),\,h'(t)\rangle.
Vou aplicar essa ideia aqui: diferenciar cada uma das três componentes separadamente.

Passo 3

Revisão das regras de derivação que vou usar (com explicação didática):
  • Regra da derivada de potência (regra do expoente): para qualquer número real n,
\frac{d}{dt}\,t^{n}=n\,t^{n-1}.
Aqui t é a variável e n é o expoente. Exemplo: se n=3, então \dfrac{d}{dt}\,t^{3}=3t^{2}. Essa regra vale também para expoentes negativos: por exemplo, com n=-1 obtém-se \dfrac{d}{dt}\,t^{-1}=-1\cdot t^{-2}=-t^{-2}.
  • Regra da constante multiplicativa: se c é constante, então
\frac{d}{dt}\big(c\cdot u(t)\big)=c\cdot u'(t).
Ou seja, tira-se a constante para fora da derivada.
  • Derivada de constante: se C é constante, então
\frac{d}{dt}C=0.
Essas três regras são suficientes para as componentes que temos.

Passo 4

Derivada da primeira componente f(t)=t-t^{-1}.
Aplicando a derivada termo a termo:
  • Para t (que é t^{1}) pela regra da potência: \dfrac{d}{dt}\,t=1\cdot t^{0}=1.
  • Para -t^{-1}: primeiro a derivada de t^{-1} é -1\cdot t^{-2}=-t^{-2}; como havia um sinal negativo multiplicando, temos
\frac{d}{dt}\big(-t^{-1}\big) = -\big(-t^{-2}\big) = t^{-2}.
Somando os dois termos:
\frac{d}{dt}\big(t-t^{-1}\big)=1 + t^{-2}.

Passo 5

Derivada da segunda componente g(t)=4 t^{2}.
Usando a regra da constante multiplicativa e a regra da potência:
  • Primeiro derive t^{2}: \dfrac{d}{dt}\,t^{2}=2t.
  • Multiplicando pela constante 4:
\frac{d}{dt}\big(4 t^{2}\big)=4\cdot 2t = 8t.

Passo 6

Derivada da terceira componente h(t)=8.
Como 8 é constante, pela regra da derivada de constante:
\frac{d}{dt}\,8 = 0.

Passo 7

Juntando as derivadas das três componentes (derivação componente a componente), obtemos a derivada vetor:
\mathbf{r}'(t)=\left\langle 1+t^{-2},\;8t,\;0\right\rangle.
Também se pode escrever a primeira componente como 1+\dfrac{1}{t^{2}} se preferir.

Resposta

\left\langle 1+t^{-2},\;8t,\;0\right\rangle