Nos Exercícios 7-14, calcule a derivada.
Passo 1
O enunciado dá o vetor função
e pede para calcular a sua derivada:
Informações relevantes fornecidas:
- A função vetorial tem três componentes: primeira componente
, segunda componente e terceira componente . - A pergunta é: calcular
, a derivada vetor-por-vetor da função dada.
Passo 2
Breve observação sobre como proceder (não é solução ainda, só o que vamos fazer): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
então
Vou aplicar essa ideia aqui: diferenciar cada uma das três componentes separadamente.
Passo 3
Revisão das regras de derivação que vou usar (com explicação didática):
- Regra da derivada de potência (regra do expoente): para qualquer número real
,
Aqui
é a variável e
é o expoente. Exemplo: se
, então
. Essa regra vale também para expoentes negativos: por exemplo, com
obtém-se
.
- Regra da constante multiplicativa: se
é constante, então
Ou seja, tira-se a constante para fora da derivada.
- Derivada de constante: se
é constante, então
Essas três regras são suficientes para as componentes que temos.
Passo 4
Derivada da primeira componente
.
Aplicando a derivada termo a termo:
Aplicando a derivada termo a termo:
- Para
(que é ) pela regra da potência: . - Para
: primeiro a derivada de é ; como havia um sinal negativo multiplicando, temos
Somando os dois termos:
Passo 5
Derivada da segunda componente
.
Usando a regra da constante multiplicativa e a regra da potência:
Usando a regra da constante multiplicativa e a regra da potência:
- Primeiro derive
: . - Multiplicando pela constante
:
Passo 6
Derivada da terceira componente
.
Como é constante, pela regra da derivada de constante:
Como
Passo 7
Juntando as derivadas das três componentes (derivação componente a componente), obtemos a derivada vetor:
Também se pode escrever a primeira componente como
se preferir.