Nos Exercícios 7-14, calcule a derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função vetorial dada. As informações fornecidas são:
A tarefa é encontrar
, a derivada desse vetor em relação a
.
Passo 2
Regra básica que vamos usar (explicação didática): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
então
Isso vem direto da definição de derivada pelo limite aplicada a cada componente: a variação do vetor se desmembra nas variações de cada coordenada.
Passo 3
Derivada da segunda componente
. Use a regra da derivada de uma função afim: a derivada de
é
.
Explicação: a derivada de
é
, a constante
multiplica então dá
, e a derivada de uma constante (
) é
.
Passo 4
Derivada da terceira componente
. É uma derivada padrão de trigonometria:
Razoamento rápido: pela definição limite usando a identidade de soma de ângulos obtém-se esse resultado; na prática em provas sempre use que a derivada de
é
.
Passo 5
Derivada da primeira componente
. Use a identidade
e a regra do quociente. Se
e
, então
Aqui
e
. Substituindo:
Como
, obtemos
Lembrete:
é definido como
.
Passo 6
Juntando as derivadas das três componentes (usando o resultado do Passo 2):
Observação prática para prova: essa expressão só faz sentido quando
(pois
fica indefinido onde
), isto é, evite
.