Nos Exercícios 7-14, calcule a derivada.
\mathbf{r}(\theta)=\langle\operatorname{tg} \theta, 4 \theta-2, \operatorname{sen} \theta\rangle

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função vetorial dada. As informações fornecidas são:
\mathbf{r}(\theta)=\langle \tan\theta,\; 4\theta-2,\; \sin\theta\rangle
A tarefa é encontrar \mathbf{r}'(\theta), a derivada desse vetor em relação a \theta.

Passo 2

Regra básica que vamos usar (explicação didática): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
\mathbf{r}(\theta)=\langle f(\theta),\; g(\theta),\; h(\theta)\rangle,
então
\mathbf{r}'(\theta)=\langle f'(\theta),\; g'(\theta),\; h'(\theta)\rangle.
Isso vem direto da definição de derivada pelo limite aplicada a cada componente: a variação do vetor se desmembra nas variações de cada coordenada.

Passo 3

Derivada da segunda componente 4\theta-2. Use a regra da derivada de uma função afim: a derivada de a\theta+b é a.
\frac{d}{d\theta}(4\theta-2)=4.
Explicação: a derivada de \theta é 1, a constante 4 multiplica então dá 4, e a derivada de uma constante ( -2) é 0.

Passo 4

Derivada da terceira componente \sin\theta. É uma derivada padrão de trigonometria:
\frac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta.
Razoamento rápido: pela definição limite usando a identidade de soma de ângulos obtém-se esse resultado; na prática em provas sempre use que a derivada de \sin é \cos.

Passo 5

Derivada da primeira componente \tan\theta. Use a identidade \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} e a regra do quociente. Se u(\theta)=\sin\theta e v(\theta)=\cos\theta, então
\frac{d}{d\theta}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
Aqui u'=\cos\theta e v'=-\sin\theta. Substituindo:
\frac{d}{d\theta}\tan\theta=\frac{\cos\theta\cdot\cos\theta-\sin\theta\cdot(-\sin\theta)}{\cos^2\theta} =\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\cos^2\theta}.
Como \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, obtemos
\frac{d}{d\theta}\tan\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}=\operatorname{sec}^2\theta.
Lembrete: \operatorname{sec}\theta é definido como \dfrac{1}{\cos\theta}.

Passo 6

Juntando as derivadas das três componentes (usando o resultado do Passo 2):
\mathbf{r}'(\theta)=\left\langle \operatorname{sec}^2\theta,\; 4,\; \cos\theta\right\rangle.
Observação prática para prova: essa expressão só faz sentido quando \cos\theta\neq 0 (pois \operatorname{sec}\theta fica indefinido onde \cos\theta=0), isto é, evite \theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.

Resposta

\mathbf{r}'(\theta)=\langle \operatorname{sec}^2\theta,\;4,\;\cos\theta\rangle