Dos exercícios 16 a 25 calcule o valor do limite:
lim x 3^- x+1x^4-6 x^3+10 x^2-6 x+9

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede e quais conceitos vamos usar. A questão quer que a gente calcule o limite da função quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ). Para resolver isso, precisamos saber sobre limites laterais e como analisar o comportamento de polinômios próximos a certos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 3+13^4-6 cdot 3^3+10 cdot 3^2-6 cdot 3+9 = 481 - 162 + 90 - 18 + 9 = 40 na função para ver se conseguimos uma ideia do que acontece. Substituindo:
Obtemos uma divisão por zero, o que indica que precisamos analisar mais detalhadamente o comportamento da função perto de .

Passo 3

Vamos fatorar o denominador x^4-6x^3+10x^2-6x+9 = (x - 3)^2 (x^2 + 0x + 3) para entender melhor o que causa a indeterminação. Observando o polinômio, notamos que x+1(x - 3)^2 (x^2 + 3) pode ser uma raiz. Utilizando a divisão sintética ou outro método de fatoração, podemos fatorar o denominador:
Então, a função fica:

Passo 4

Agora que temos o denominador fatorado, podemos analisar o limite. Quando se aproxima de 3 pela esquerda, é negativo, mas como está elevado ao quadrado, será positivo. Além disso, sempre será positivo para qualquer valor de .
Então, o denominador está se aproximando de zero positivo, enquanto o numerador, , se aproxima de 4. Isso significa que a fração inteira está se aproximando de infinito positivo.

Resposta

O limite é .

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