Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
25.
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Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis, onde precisamos verificar se o limite existe ou não quando
e
se aproximam de 0. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para que o limite exista, ele deve ter o mesmo valor independentemente do caminho que escolhemos para nos aproximar de
. Se encontrarmos dois caminhos que resultam em valores diferentes, isso mostra que o limite não existe.
Passo 3
Vamos considerar o primeiro caminho onde
. Substituindo na função:
Portanto, ao nos aproximarmos de
ao longo do eixo
, o limite é 1.
Passo 4
Agora, vamos considerar um segundo caminho onde
. Substituindo na função:
Aqui, estamos dividindo por zero, o que indica que a expressão tende ao infinito ou não está definida.
Passo 5
Como ao nos aproximarmos de
pelo caminho
o limite é 1, e pelo caminho
a expressão não está definida (tende ao infinito), concluímos que os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido.
Resposta
O limite
não existe porque ele assume valores diferentes ao nos aproximarmos de
por caminhos distintos.