Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
25. lim substackx 0 y 0 x+yx-y

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis, onde precisamos verificar se o limite existe ou não quando e se aproximam de 0. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para que o limite exista, ele deve ter o mesmo valor independentemente do caminho que escolhemos para nos aproximar de . Se encontrarmos dois caminhos que resultam em valores diferentes, isso mostra que o limite não existe.

Passo 3

Vamos considerar o primeiro caminho onde x + yx - y = x + 0x - 0 = xx = 1 . Substituindo na função:
Portanto, ao nos aproximarmos de ao longo do eixo , o limite é 1.

Passo 4

Agora, vamos considerar um segundo caminho onde x + yx - y = x + xx - x = 2x0 . Substituindo na função:
Aqui, estamos dividindo por zero, o que indica que a expressão tende ao infinito ou não está definida.

Passo 5

Como ao nos aproximarmos de pelo caminho o limite é 1, e pelo caminho a expressão não está definida (tende ao infinito), concluímos que os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe porque ele assume valores diferentes ao nos aproximarmos de por caminhos distintos.

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