Nos Exercícios de 21 a 24, ache o fluxo de
através da superficie
onde
dá o campo de velocidades de um fluido.
;
é a parte do parabolóide
acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é a parte do paraboloide
acima do plano
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente no estudo de integrais de fluxo. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, como parametrizar a superfície e aplicar a integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de campo que “passa” por essa superfície. Matematicamente, é calculado usando a integral de superfície:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Como nossa superfície
é parte de um paraboloide simétrico, é mais fácil usar coordenadas polares para parametrizá-la. Vamos expressar
e
em termos de coordenadas polares:
Então, a equação do paraboloide fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para depois calcular o vetor normal. As derivadas parciais em relação a
e
são:
Passo 5
O vetor normal
à superfície é obtido pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Passo 6
Mas para simplificar, vamos usar a forma simplificada do vetor normal em coordenadas polares para superfícies gráficas:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 7
Agora, vamos expressar o campo
em coordenadas polares:
Passo 8
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 9
A integral de fluxo fica então:
Onde
é a região no plano
sobre a qual a superfície está definida. Aqui,
, então
varia de
a
e
de
a
.
Passo 10
Vamos calcular a integral:
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é
.