Nos Exercícios de 21 a 24, ache o fluxo de F através da superficie S onde F(x, y, z) dá o campo de velocidades de um fluido.
F(x, y, z) = 3x i + 3y j + 6z k; S é a parte do parabolóide z = 4 - x^2 - y^2 acima do plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície S, que é a parte do paraboloide acima do plano xy. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente no estudo de integrais de fluxo. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, como parametrizar a superfície e aplicar a integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de campo que “passa” por essa superfície. Matematicamente, é calculado usando a integral de superfície:
onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Como nossa superfície S é parte de um paraboloide simétrico, é mais fácil usar coordenadas polares para parametrizá-la. Vamos expressar x e y em termos de coordenadas polares:
Então, a equação do paraboloide fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para depois calcular o vetor normal. As derivadas parciais em relação a r e theta são:

Passo 5

O vetor normal n à superfície é obtido pelo produto vetorial desses vetores tangentes:

Passo 6

Mas para simplificar, vamos usar a forma simplificada do vetor normal em coordenadas polares para superfícies gráficas:
No nosso caso, e , então:

Passo 7

Agora, vamos expressar o campo F em coordenadas polares:

Passo 8

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 9

A integral de fluxo fica então:
Onde D é a região no plano xy sobre a qual a superfície está definida. Aqui, , então r varia de 0 a e theta de 0 a .

Passo 10

Vamos calcular a integral:

Resposta

O fluxo de F através da superfície S é .

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