Nos Exercícios de 24 a 30, sejam
\begin{aligned} & A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right] \\\ & C=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ -3 & -1 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right] \end{aligned}
Em cada caso, encontre a matriz elementar E que satisfaça a equação dada.
E B=A

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma matriz elementar E tal que
E\,B = A.
Lembre que matrizes elementares correspondem a operações de linha aplicadas à esquerda em B.

Passo 2

Vamos comparar as linhas de B e de A:
B =
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix},
A =
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Observamos que a segunda linha permanece igual e que a primeira linha de A é a terceira de B, enquanto a terceira linha de A é a primeira de B. Portanto basta trocar \text{R}_1 com \text{R}_3.

Passo 3

Na teoria de matrizes elementares, a operação de trocar \text{R}_i com \text{R}_j em B é feita multiplicando B à esquerda por uma matriz identidade com as linhas i e j trocadas.

Passo 4

Aplicando isso para trocar \text{R}_1 com \text{R}_3, a matriz elementar é
E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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