Nos exercícios de 33 a 36, use a definição de área como somatório, tomando
como extremo direito, como extremo esquerdo e por fim como ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva
acima do intervalo especificado.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área sob a curva da função
no intervalo de
. Para isso, vamos usar somatórios de Riemann, que basicamente somam áreas de retângulos para aproximar a área total sob a curva. Vamos considerar três tipos de pontos para escolher a altura desses retângulos: o extremo esquerdo, o extremo direito e o ponto médio de cada subintervalo. Para isso, vamos precisar dividir o intervalo em partes iguais e aplicar a fórmula certa para cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo, que a gente chama de
, é calculada assim:
Isso significa que cada pedaço do nosso intervalo tem tamanho
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos específicos que vamos usar para calcular as alturas dos retângulos em cada tipo de somatório:
- Extremo Esquerdo: É o ponto mais à esquerda de cada subintervalo.
- Extremo Direito: É o ponto mais à direita de cada subintervalo.
- Ponto Médio: É o ponto que fica exatamente no meio de cada subintervalo.
Passo 4
Vamos montar as expressões para cada tipo de somatório. A soma de Riemann em geral é dada por:
Onde
é o ponto de amostragem escolhido (esquerdo, direito ou médio).
- Somatório com Extremo Esquerdo:
- Somatório com Extremo Direito:
- Somatório com Ponto Médio:
Passo 5
Para finalizar, vamos calcular cada somatório substituindo
e somando todos os termos para obter a aproximação da área.
Por exemplo, para o somatório com extremo esquerdo, teríamos:
E assim por diante para os outros tipos de somatórios. Ao resolver essas somas, especialmente quando
tende ao infinito, a aproximação fica mais precisa, chegando ao valor exato da integral definida.
Resposta
Assim, utilizando somatórios de Riemann com os extremos esquerdo, direito e o ponto médio de cada subintervalo, conseguimos aproximar a área sob a curva
no intervalo de
. Dependendo do tipo de ponto escolhido para as alturas dos retângulos, a aproximação da área varia, mas todas nos levam mais perto do valor exato quando aumentamos o número de subintervalos
.