Nos exercícios de 33 a 36, use a definição de área como somatório, tomando x_k* como extremo direito, como extremo esquerdo e por fim como ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f(x) acima do intervalo especificado.
f(x) = x / 2 ; [1, 4]

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área sob a curva da função no intervalo de . Para isso, vamos usar somatórios de Riemann, que basicamente somam áreas de retângulos para aproximar a área total sob a curva. Vamos considerar três tipos de pontos para escolher a altura desses retângulos: o extremo esquerdo, o extremo direito e o ponto médio de cada subintervalo. Para isso, vamos precisar dividir o intervalo em partes iguais e aplicar a fórmula certa para cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo, que a gente chama de , é calculada assim:
Isso significa que cada pedaço do nosso intervalo tem tamanho .

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos específicos que vamos usar para calcular as alturas dos retângulos em cada tipo de somatório:
  1. Extremo Esquerdo: É o ponto mais à esquerda de cada subintervalo.
  2. Extremo Direito: É o ponto mais à direita de cada subintervalo.
  3. Ponto Médio: É o ponto que fica exatamente no meio de cada subintervalo.

Passo 4

Vamos montar as expressões para cada tipo de somatório. A soma de Riemann em geral é dada por:
Á
Onde é o ponto de amostragem escolhido (esquerdo, direito ou médio).
  • Somatório com Extremo Esquerdo:
Á
  • Somatório com Extremo Direito:
Á
  • Somatório com Ponto Médio:
Á

Passo 5

Para finalizar, vamos calcular cada somatório substituindo e somando todos os termos para obter a aproximação da área.
Por exemplo, para o somatório com extremo esquerdo, teríamos:
Á
E assim por diante para os outros tipos de somatórios. Ao resolver essas somas, especialmente quando tende ao infinito, a aproximação fica mais precisa, chegando ao valor exato da integral definida.

Resposta

Assim, utilizando somatórios de Riemann com os extremos esquerdo, direito e o ponto médio de cada subintervalo, conseguimos aproximar a área sob a curva no intervalo de . Dependendo do tipo de ponto escolhido para as alturas dos retângulos, a aproximação da área varia, mas todas nos levam mais perto do valor exato quando aumentamos o número de subintervalos .

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