Nos Exercícios 39 e 40, encontre a seqüência de matrizę elementares E_{1}, E_{2} \ldots, E_{k} tais que E_{k} \cdots E_{2} E_{1} A=I. Use essa seqüência para escrever A e A^{-1} como produtos de matrizes elementares.
A=\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\\\ -1 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar matrizes elementares E_{1},E_{2},\dots,E_{k} tais que
E_{k}\cdots E_{2}E_{1}A=I,
onde
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ -1 & -2\end{pmatrix}.
Vamos usar operações de linha para reduzir A a I e, em seguida, traduzir cada operação em sua matriz elementar correspondente.

Passo 2

Primeira operação: eliminar o -1 em (2,1) fazendo
R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1}.
A matriz elementar que realiza isso é
E_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix},
pois
E_{1}A =\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\\ -1 & -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & -2\end{pmatrix}.

Passo 3

Segunda operação: transformar o pivô -2 em 1 fazendo
R_{2}\leftarrow -\tfrac12\,R_{2}.
A matriz elementar é
E_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & -\tfrac12\end{pmatrix},
e então
E_{2}E_{1}A =\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & -\tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & -2\end{pmatrix} =I.

Passo 4

Como E_{2}E_{1}A=I, temos
A = E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}, \qquad A^{-1}=E_{2}E_{1}.
Calculando as inversas das matrizes elementares:
E_{1}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ -1 & 1\end{pmatrix}, \qquad E_{2}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & -2\end{pmatrix}.
Verificação:
E_{1}^{-1}E_{2}^{-1} =\begin{pmatrix}1 & 0\\\ -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\\ -1 & -2\end{pmatrix}=A,
E_{2}E_{1} =\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & -\tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\\ -\tfrac12 & -\tfrac12\end{pmatrix}=A^{-1}.

Resposta

E_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix},\quad E_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-\tfrac12\end{pmatrix}.
A = E_{1}^{-1}E_{2}^{-1} =\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-2\end{pmatrix}, \quad A^{-1}=E_{2}E_{1} =\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-\tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix}.

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