Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir). \left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] sobre \mathbb{Z}_{5}
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}4 & 2\\\ 3 & 4\end{pmatrix}
e pede a inversa sobre \mathbb{Z}_{5} usando o método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada [A\mid I] e fazer operações linha válidas em módulo 5 para tentar chegar a [I\mid A^{-1}].
Passo 2
Formamos a matriz aumentada inicial em \mathbb{Z}_{5}:
O pivô na primeira linha e primeira coluna é 4. Em \mathbb{Z}_{5}, o inverso de 4 é 4 (pois 4\cdot4=16\equiv1). Multiplicamos a linha 1 por 4 módulo 5:
Na segunda linha, as entradas da parte esquerda são todas zero, mas a parte direita é (3\;1), o que gera um sistema inconsistente ao tentar alcançar [I\mid *]. Isso significa que não há como completar a redução a [I\mid A^{-1}]. Em outras palavras, \det(A)=4\cdot4-2\cdot3=16-6=10\equiv0\pmod5, logo A é singular em \mathbb{Z}_{5} e não admite inversa.