Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir).
\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 2 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 2 & 3 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, pelo método de Gauss–Jordan, a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 3 & 1 & 2\\\\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}.
Vamos montar a matriz aumentada \bigl[A\mid I_3\bigr] e aplicar operações elementares de linha para tentar chegar em \bigl[I_3\mid A^{-1}\bigr].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 3 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Zeramos os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (que já é 1):
L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1
L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1
Resulta em
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 4 & -4 & -3 & 1 & 0\\\\ 0 & 5 & -5 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Agora tornamos o pivô da segunda linha igual a 1 e eliminamos na mesma coluna das outras linhas:
L_2 \leftarrow \tfrac{1}{4}L_2
L_1 \leftarrow L_1 + L_2
L_3 \leftarrow L_3 - 5L_2
Assim obtemos
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \tfrac14 & \tfrac14 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & -\tfrac34 & \tfrac14 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac74 & -\tfrac54 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Na terceira linha, todos os coeficientes da parte esquerda são zero, mas a parte direita não é a linha nula \bigl(0,0,0\mid\tfrac74,-\tfrac54,1\bigr). Isso impede de reduzir A à identidade. Logo, A não é invertível.

Resposta

A matriz não tem inversa.

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