Nos Exercícios de 69 a 72, divida as matrizes dadas de modo que você possa aplicar uma das fórmulas dos Exercícios 64 a 68, e então calcule a inversa usando a fórmula.
\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 3 & 1 \\\\ -1 & 5 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\[6pt] 1 & 3 & 1 \\[6pt] -1 & 5 & 2 \end{pmatrix}
usando uma das fórmulas de inversão por blocos (Schur complement). O conteúdo aqui é a inversão de matriz particionada em blocos 2×2+1×1.]

Passo 2

Particionamos A como
A = \begin{pmatrix} D & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix},
onde
D = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix}1 \\[4pt]1\end{pmatrix},\quad c = \begin{pmatrix}-1 & 5\end{pmatrix},\quad d = 2.
Escolhemos D invertível para aplicar a fórmula do Schur complement.]

Passo 3

Calculamos a inversa de D. Primeiro
\det(D) = 0\cdot3 - 1\cdot1 = -1,
então
D^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

O escalar de Schur é
S = d - c\,D^{-1}b.
Calculamos D^{-1}b e depois c(D^{-1}b):
D^{-1}b = \begin{pmatrix}-3 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}, \quad c\,(D^{-1}b) = (-1)\cdot(-2) + 5\cdot1 = 7.
Logo
S = 2 - 7 = -5, \quad S^{-1} = -\frac{1}{5}.]

Passo 5

A fórmula de inversão por blocos diz
A^{-1} = \begin{pmatrix} D^{-1} + D^{-1}b\,S^{-1}c\,D^{-1} & -\,D^{-1}b\,S^{-1} \\[6pt] -\,S^{-1}c\,D^{-1} & S^{-1} \end{pmatrix}.
Calculamos cada bloco:
  1. D{-1}b,S{-1}c,D^{-1}: c\,D^{-1} = \begin{pmatrix}-1 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 & -1\end{pmatrix},
S^{-1}c\,D^{-1} = -\tfrac{1}{5}\begin{pmatrix}8 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{8}{5} & \tfrac{1}{5}\end{pmatrix},
D^{-1}b = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}, \quad D^{-1}b\,S^{-1}c\,D^{-1} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-\tfrac{8}{5} & \tfrac{1}{5}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{16}{5} & -\tfrac{2}{5}\\[4pt] -\tfrac{8}{5} & \tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
Então
D^{-1} + D^{-1}b\,S^{-1}c\,D^{-1} = \begin{pmatrix}-3 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\tfrac{16}{5} & -\tfrac{2}{5}\\[4pt] -\tfrac{8}{5} & \tfrac{1}{5}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{5}\\[4pt] -\tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
  1. -D^{-1}b\,S^{-1}:
    D^{-1}b\,S^{-1} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}\!\bigl(-\tfrac{1}{5}\bigr) = \begin{pmatrix}\tfrac{2}{5}\\[4pt]-\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}, \quad -D^{-1}b\,S^{-1} = \begin{pmatrix}-\tfrac{2}{5}\\[4pt]\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
  2. -S^{-1}c\,D^{-1}:
    -S^{-1}c\,D^{-1} = -\Bigl(-\tfrac{1}{5}\Bigr)\begin{pmatrix}8 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{8}{5} & -\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
  3. O canto inferior direito é simplesmente S^{-1} = -\tfrac{1}{5}.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{5} & -\tfrac{2}{5}\\[6pt] -\tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{5}\\[6pt] \tfrac{8}{5} & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5} \end{pmatrix}.]

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