Nos exercícios abaixo, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo y, da região delimitada pelos gráficos das equações abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume do sólido formado ao girar, em torno do eixo
, a região limitada pelas seguintes curvas:
Vamos usar o cálculo de volumes por revolução, especificamente o método dos discos ou cilindros, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quais são os limites da nossa região. As curvas
,
(que é o eixo
) e
delimitam a área que vamos girar.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar melhor:
-
é uma função que representa a parte superior de uma parábola invertida. -
é o eixo . -
é o eixo .
Encontramos o ponto de interseção entre
e
:
Então, nosso intervalo de integração para
vai de 0 a 4.
Passo 3
Como vamos girar em torno do eixo
, é mais conveniente usar o método dos cilindros (também conhecido como método de cascas cilíndricas). A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui,
,
e
.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar o volume.
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Fazemos uma substituição para facilitar:
Seja
, então
, ou seja,
.
Também,
.
Substituindo na integral:
Simplificando:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 4:
Calculando em
:
Calculando em
:
Diferença:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido gerado pela revolução é: