Nos exercícios abaixo, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo y, da região delimitada pelos gráficos das equações abaixo.
y = raiz(4 - x), y = 0, x = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume do sólido formado ao girar, em torno do eixo , a região limitada pelas seguintes curvas:
Vamos usar o cálculo de volumes por revolução, especificamente o método dos discos ou cilindros, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quais são os limites da nossa região. As curvas , (que é o eixo ) e delimitam a área que vamos girar.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar melhor:
  • é uma função que representa a parte superior de uma parábola invertida.
  • é o eixo .
  • é o eixo .
Encontramos o ponto de interseção entre e :
Então, nosso intervalo de integração para vai de 0 a 4.

Passo 3

Como vamos girar em torno do eixo , é mais conveniente usar o método dos cilindros (também conhecido como método de cascas cilíndricas). A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, , e .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar o volume.

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Fazemos uma substituição para facilitar:
Seja , então , ou seja, .
Também, .
Substituindo na integral:
Simplificando:
Voltando para :

Passo 6

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 4:
Calculando em :
Calculando em :
Diferença:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido gerado pela revolução é:

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