Nos exercícios abaixo, encontre e classifique os pontos críticos das funções.
5.
5.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar e classificar os pontos críticos da função
no intervalo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio em
é ; não há restrição explícita em , então . - A tarefa: (i) achar todos os pontos críticos (onde o gradiente é zero ou derivadas não existem) e (ii) classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela (usando o teste das derivadas segundas).
Passo 2
Derivar para obter as condições de ponto crítico (gradiente igual a zero). Vou explicar o que é o gradiente: o gradiente é o par formado pelas derivadas parciais
. Pontos críticos são aqueles onde ambas as derivadas parciais são zero (ou onde alguma delas não existe). Aqui as derivadas existem em todo o domínio, então resolvemos o sistema
.
Calcule as derivadas parciais:
Explicando rapidamente: ao derivar em relação a
tratamos
como constante; ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
Portanto, o sistema
é
Podemos simplificar cancelando o fator
:
Passo 3
Resolver o sistema obtido. Substituir
na primeira equação:
Isso implica que
ou
.
Casos:
-
Se
então ou no intervalo . Como , tem-se . Assim obtemos os pontos críticos e . -
Se
então no intervalo dado. Novamente , logo: -
dá → ponto . -
dá → ponto . -
dá → ponto .
-
Não há outras soluções, porque as derivadas existem em todo lugar e o sistema foi resolvido completamente.
Resumo dos pontos críticos encontrados:
Passo 4
Agora vamos classificar cada ponto crítico usando o teste das derivadas segundas (matriz Hessiana). Vou explicar o teste: a Hessiana
é a matriz das segundas derivadas
onde
, etc. Definimos o discriminante
- Se
e → mínimo local. - Se
e → máximo local. - Se
→ ponto de sela. - Se
→ teste inconclusivo (é preciso outro método).
Calcule as segundas derivadas:
Então a determinante da Hessiana é
Podemos fatorar:
Passo 5
Avaliar
e
em cada ponto crítico e concluir a classificação.
- Ponto
: aqui , , .
Como
e
,
é mínimo local.
- Ponto
: , , . Mesmo cálculo que o anterior:
portanto
é mínimo local.
- Ponto
: , , .
Logo
e
, portanto
é mínimo local.
Observação rápida: por enquanto todos estes três são mínimos locais.
- Ponto
: , , .
Aqui
, então é ponto de sela.
- Ponto
: , , .
Também
, logo ponto de sela.
Passo 6
Uma verificação e insight útil (ajuda a entender por que não há máximos): completar o quadrado em
. Escrevendo
Isto mostra que para cada
fixo a função em
tem mínimo em
com valor
. Como
está entre
e
, o menor valor global possível de
é
, atingido quando
(isto é, em
) e
. Isso confirma que os pontos
são mínimos globais (além de locais). Não há máximos globais porque
pode crescer sem limite quando
.