Nos exercícios abaixo estabeleça a série de Taylor de
no ponto
indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a série de Taylor da função
no ponto
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de séries de funções. Para resolver, vamos precisar saber como construir a série de Taylor usando derivadas da função no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico. A fórmula geral da série de Taylor de uma função
em torno de
é:
Aqui,
representa a n-ésima derivada da função avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada é:
A segunda derivada é:
E, de maneira geral, a n-ésima derivada é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
Porque
, então
.
Resposta
A série de Taylor de
no ponto
é: