Nos exercícios abaixo estabeleça a série de Taylor de f(x) no ponto c indicado. f(x) = e^(2x) ; c = -1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a série de Taylor da função no ponto . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de séries de funções. Para resolver, vamos precisar saber como construir a série de Taylor usando derivadas da função no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico. A fórmula geral da série de Taylor de uma função em torno de é:
Aqui, representa a n-ésima derivada da função avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de . A primeira derivada é:
A segunda derivada é:
E, de maneira geral, a n-ésima derivada é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
Porque , então .

Resposta

A série de Taylor de no ponto é:

Exercícios relacionados