2.4.3 Exercícios
Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
a)
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0 . \quad \operatorname{Resp}: y=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-3 x} .
b)
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+10 y=0 . \quad \operatorname{Resp}: y=c_{1} e^{t} \cos 3 t+c_{2} e^{t} \operatorname{sen} 3 t .
c)
6 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0 . \quad Resp:
y=c_{1} e^{x / 2}+c_{2} e^{-x / 3} .
d)
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+13 y=0 . Resp:
y=c_{1} e^{-3 x} \cos 2 x+c_{2} e^{-3 x} \operatorname{sen} 2 x .
e)
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=0 . \quad \operatorname{Resp}: y=c_{1}+c_{2} e^{-5 x} .
f)
2 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0 . \quad \operatorname{Resp}: y=c_{1} e^{-x / 2} \cos (x / 2)+c_{2} e^{-x / 2} \operatorname{sen}(x / 2) .
g)
4 y^{\prime \prime}+9 y=0 . \quad Resp:
y=c_{1} \cos (3 x / 2)+c_{2} \operatorname{sen}(3 x / 2) .
Ache a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
a)
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=1 .
Resp:
y=e^{t}
b)
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=2 .
Resp:
y=2 x e^{3 x} .
c)
y^{\prime \prime}+y=0, \quad, y(\pi / 3)=2 e
y^{\prime}(\pi / 3)=-4 .
Resp:
(1+2 \sqrt{3}) \cos x-(2-\sqrt{3}) \operatorname{sen} x .
d)
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0, y(0)=-2, y^{\prime}(0)=3 .
Resp:
y=-1-e^{-3 t} .
e)
y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}-9 y=0, y(1)=1, y^{\prime}(1)=0 .
Resp:
y=\frac{1}{10} e^{-9(x-1)}+\frac{9}{10} e^{x-1} .
f)
9 y^{\prime \prime}-12 y^{\prime}+4 y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1 .
Resp:
y=2 e^{2 x / 3}-\frac{7}{3} x e^{2 x / 3} .
g)
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+1.25 y=0, y(0)=3, y^{\prime}(0)=1 .
Resp:
y=3 e^{-x / 2} \cos x+\frac{5}{2} e^{-x / 2} \operatorname{sen} x
3. Ache a equação diferencial cuja solução geral é
y(x)=c_{1} e^{2 t}+c_{2} e^{-3 t} .
Resp:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=0 .
4. Ache a equação diferencial cuja solução geral é
y(x)=c_{1} e^{-t / 2}+c_{2} e^{-2 t} .
Resp:
2 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+2 y=0 .
5. Considere o problema de valor inicial:
4 y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}+9 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=-4 .
a) Ache a solução deste problema. Resp:
y=e^{-3 x / 2}-\frac{5}{2} x e^{-3 x / 2} .
b) Determine onde a solução é zero. Resp:
x=2 / 5 .
c) Determine as coordenadas
\left(x_{0}, y_{0}\right) do ponto de mínimo.
\operatorname{Resp}: x_{0}=16 / 15 e
y_{0}= -\frac{5}{3} e^{-8 / 5} .
d) Mude a segunda condição inicial para
y^{\prime}(0)=b e ache a solução como uma função de
b . A seguir, ache o valor crítico de
b que separa a solução na sua parte positiva da parte que pode ser negativa. Resp:
y=e^{-3 x / 2}+(b+3 / 2) x e^{-3 x / 2}