Nos Exercícios de a a g, ache a conjunto-solução da desigualdade dada e mostreo na reta numérica real.
5 x+2 \geq x-6

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: achar o conjunto-solução da desigualdade e mostrar essa solução na reta numérica real. A desigualdade dada é
5x + 2 \ge x - 6.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A desigualdade é linear em x.
  • Precisamos encontrar todos os números reais x que satisfazem a desigualdade.
  • Depois, temos que representar essa solução na reta numérica (mostrar graficamente onde x pode ficar).

Passo 2

Antes de começar a manipular a desigualdade, vamos revisar as regras básicas que usaremos (tipo aula rapidinha, mas importante):
  1. Podemos somar ou subtrair a mesma quantidade dos dois lados de uma desigualdade sem mudar o sentido dela. Por exemplo, se \,a \ge b, então \,a+c \ge b+c para qualquer c.
  2. Podemos multiplicar ou dividir os dois lados por um número positivo sem mudar o sentido. Ou seja, se k>0 e a \ge b, então ka \ge kb e a/k \ge b/k.
  3. Se multiplicarmos ou dividirmos por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Por exemplo, se k<0 e a \ge b, então ka \le kb.
    Essas regras são essenciais para resolver desigualdades. Vou aplicar a regra 1 para eliminar termos de x de um lado e a regra 2 para isolar x, porque vou dividir por 4, que é positivo (então o sentido não muda).

Passo 3

Começo aplicando a regra de subtrair a mesma coisa dos dois lados para agrupar os termos com x. Subtraio \,x de ambos os lados:
5x+2 - x \ge x-6 - x.
Agora simplifico cada lado.

Passo 4

Simplificando o que fizemos no passo anterior:
5x+2 - x = 4x+2
e
x-6 - x = -6.
Portanto a desigualdade virou
4x + 2 \ge -6.

Passo 5

Agora quero isolar o termo com x. Subtraio \,2 de ambos os lados (novamente somar/subtrair igual nos dois lados não muda o sentido):
4x + 2 - 2 \ge -6 - 2,
ou seja
4x \ge -8.

Passo 6

Para obter x sozinho, divido ambos os lados por 4. Como 4 é um número positivo, isto não inverte a desigualdade (lembra da regra 2):
\frac{4x}{4} \ge \frac{-8}{4}.
Simplificando:
x \ge -2.

Passo 7

Interpretação: a solução é todo número real x que seja maior ou igual a -2. Vamos escrever isso em notações comuns.
  • Notação em conjunto (set-builder):
\{\,x \in \mathbb{R} \mid x \ge -2\,\}.
  • Notação de intervalo:
[-2,\infty).

Passo 8

Vou mostrar também um desenho da reta numérica (em ASCII) para visualizar a solução. O ponto em -2 é incluído (porque a desigualdade é “maior ou igual”), então represento com um ponto preenchido; a solução vai para a direita até o infinito:
\text{...} \longleftarrow \bullet \text{======================} \longrightarrow
onde o ponto preenchido corresponde a \,-2. Em texto: ponto fechado em -2 e seta para a direita, ou seja, todos os x com \,x \ge -2.

Passo 9

Cheque rápido (substituição) para ter confiança no resultado:
  • Escolho x = 0 (que é \ge -2). Substituo em \,5x+2 \ge x-6: \,5\cdot 0+2 = 2 e 0-6 = -6. 2 \ge -6 é verdadeiro.
  • Escolho x = -3 (que é < -2). Substituo: \,5(-3)+2 = -15+2 = -13 e -3-6 = -9. -13 \ge -9 é falso. Então comportamentos batem com \,x \ge -2.

Passo 10

Recapitulando de forma curta: seguindo as regras de manipulação de desigualdades (subtrair x, subtrair 2, dividir por 4 que é positivo) chegamos em \,x \ge -2. Vai dar certo na prova: faça essas etapas devagar e sempre observe se está dividindo por número negativo (nesse caso não).

Resposta

\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\ge -2\,)
[-2,\infty)