Nos Exercícios de a a g, ache a conjunto-solução da desigualdade dada e mostreo na reta numérica real.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: achar o conjunto-solução da desigualdade e mostrar essa solução na reta numérica real. A desigualdade dada é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A desigualdade é linear em
. - Precisamos encontrar todos os números reais
que satisfazem a desigualdade. - Depois, temos que representar essa solução na reta numérica (mostrar graficamente onde
pode ficar).
Passo 2
Antes de começar a manipular a desigualdade, vamos revisar as regras básicas que usaremos (tipo aula rapidinha, mas importante):
- Podemos somar ou subtrair a mesma quantidade dos dois lados de uma desigualdade sem mudar o sentido dela. Por exemplo, se
, então para qualquer . - Podemos multiplicar ou dividir os dois lados por um número positivo sem mudar o sentido. Ou seja, se
e , então e . - Se multiplicarmos ou dividirmos por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Por exemplo, se
e , então .
Essas regras são essenciais para resolver desigualdades. Vou aplicar a regra 1 para eliminar termos dede um lado e a regra 2 para isolar , porque vou dividir por , que é positivo (então o sentido não muda).
Passo 3
Começo aplicando a regra de subtrair a mesma coisa dos dois lados para agrupar os termos com
. Subtraio
de ambos os lados:
Agora simplifico cada lado.
Passo 4
Simplificando o que fizemos no passo anterior:
e
Portanto a desigualdade virou
Passo 5
Agora quero isolar o termo com
. Subtraio
de ambos os lados (novamente somar/subtrair igual nos dois lados não muda o sentido):
ou seja
Passo 6
Para obter
sozinho, divido ambos os lados por
. Como
é um número positivo, isto não inverte a desigualdade (lembra da regra 2):
Simplificando:
Passo 7
Interpretação: a solução é todo número real
que seja maior ou igual a
. Vamos escrever isso em notações comuns.
- Notação em conjunto (set-builder):
- Notação de intervalo:
Passo 8
Vou mostrar também um desenho da reta numérica (em ASCII) para visualizar a solução. O ponto em
é incluído (porque a desigualdade é “maior ou igual”), então represento com um ponto preenchido; a solução vai para a direita até o infinito:
onde o ponto preenchido corresponde a
. Em texto: ponto fechado em
e seta para a direita, ou seja, todos os
com
.
Passo 9
Cheque rápido (substituição) para ter confiança no resultado:
- Escolho
(que é ). Substituo em : e . é verdadeiro. - Escolho
(que é ). Substituo: e . é falso. Então comportamentos batem com .
Passo 10
Recapitulando de forma curta: seguindo as regras de manipulação de desigualdades (subtrair
, subtrair
, dividir por
que é positivo) chegamos em
. Vai dar certo na prova: faça essas etapas devagar e sempre observe se está dividindo por número negativo (nesse caso não).