Nos Exercícios 1-6, utilize a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo \mathbf{F} ao redor da curva C na direção indicada.
\mathbf{F}=\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathbf{i}+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathbf{j}+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathbf{k}
C : O quadrado limitado pelas retas x=\pm 1 e y=\pm 1 no plano x y, no sentido anti-horário quando visto de cima.

Passo 1

O enunciado pede a circulação de \mathbf{F} ao redor de C, onde
\mathbf{F}=(y^{2}+z^{2})\,\mathbf{i}+(x^{2}+y^{2})\,\mathbf{j}+(x^{2}+y^{2})\,\mathbf{k},
e C é o quadrado \{(x,y,0)\mid -1\le x\le1,\,-1\le y\le1\} percorrido no sentido anti-horário visto de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes que diz
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde S é a superfície de área limitada por C.

Passo 2

Calcular \nabla\times\mathbf{F}. Tomando \mathbf{F}=(P,Q,R) com
P=y^{2}+z^{2},\quad Q=x^{2}+y^{2},\quad R=x^{2}+y^{2},
temos
\nabla\times\mathbf{F} =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) =(2y,\;2z-2x,\;2x-2y).

Passo 3

Escolhemos S como o quadrado no plano z=0. A normal unitária orientada para cima (consistente com o sentido anti-horário de C) é \mathbf{n}=\mathbf{k}.
Na superfície z=0, o integrando (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} vale a componente z de \nabla\times\mathbf{F}, ou seja
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\bigl|_{z=0} =2x-2y.

Passo 4

O teorema de Stokes reduz o problema ao cálculo da integral dupla
\iint_{S}(2x-2y)\,dS =\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-1}^{1}(2x-2y)\,dy\,dx.

Passo 5

Por simetria do domínio [-1,1]\times[-1,1] temos
\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}2x\,dy\,dx =2\Bigl(\int_{-1}^{1}x\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{-1}^{1}dy\Bigr) =2\cdot 0\cdot 2=0,
e
\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}(-2y)\,dy\,dx =-2\Bigl(\int_{-1}^{1}y\,dy\Bigr)\Bigl(\int_{-1}^{1}dx\Bigr) =-2\cdot 0\cdot 2=0.
Somando, a integral é 0+0=0.

Resposta

A circulação de \mathbf{F} ao redor de C é zero.

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