Exercise 5. Decida quais matrizes abaixo possuem inversa. Para as que forem inversíveis, calcule a inversa pelo método de Gauss-Jordan.
B=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\\ 2 & 5 & 1 \\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Decidir se a matriz B abaixo possui inversa.
  • Se for inversível, calcular a inversa usando o método de Gauss–Jordan.
A matriz dada é
B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\\\ 2 & 5 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right].

Passo 2

Primeiro: determinar se B é invertível. Uma maneira rápida é calcular o determinante; se \det(B)\neq 0 então B tem inversa. Vou calcular \det(B) pela regra de Sarrus / expansão pela primeira linha.
Usando expansão pela primeira linha:
\det(B)=1\cdot\det\!\left(\begin{array}{cc}5 & 1\\[4pt]1 & 2\end{array}\right) -2\cdot\det\!\left(\begin{array}{cc}2 & 1\\[4pt]0 & 2\end{array}\right) +0\cdot(\cdots).
Calculo os menores:
\det\!\left(\begin{array}{cc}5 & 1\\[4pt]1 & 2\end{array}\right)=5\cdot2-1\cdot1=10-1=9,
\det\!\left(\begin{array}{cc}2 & 1\\[4pt]0 & 2\end{array}\right)=2\cdot2-1\cdot0=4.
Portanto
\det(B)=1\cdot9-2\cdot4=9-8=1.
Como \det(B)=1\neq0, a matriz B é invertível. Vamos então calcular B^{-1} pelo método de Gauss–Jordan, como o enunciado pede.]

Passo 3

Breve aula sobre o método de Gauss–Jordan (com jeitinho de amigo):
  • A ideia é montar a matriz ampliada [B\mid I], onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho.
  • Aplicam-se operações elementares por linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, somar a múltipla de uma linha em outra) de forma a transformar o bloco esquerdo em I.
  • Quando o bloco esquerdo virar I, o bloco direito terá se transformado em B^{-1}.
  • Essas operações preservam as soluções de sistemas lineares e a propriedade da inversa; são operações permitidas e seguras.
Agora vamos aplicar isso passo a passo no nosso caso. Vou mostrar a matriz ampliada e cada operação com seus resultados numéricos, devagarinho.

Passo 4

Escrevo a matriz ampliada inicial [B\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 5 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Objetivo: obter um 1 na posição (1,1) (já temos) e zerar abaixo dele na coluna 1. Faço a operação
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
Calculando linha 2 nova:
  • Colunas da esquerda: 2-2\cdot1=0,\;5-2\cdot2=1,\;1-2\cdot0=1.
  • Colunas da direita: 0-2\cdot1=-2,\;1-2\cdot0=1,\;0-2\cdot0=0.
A matriz ampliada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 6

Agora uso o 1 em (2,2) como pivô para zerar as outras entradas da coluna 2. Primeiro zerei a posição (1,2) com
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
Calculando linha 1 nova:
  • Colunas esquerda: 1,\;2-2\cdot1=0,\;0-2\cdot1=-2.
  • Colunas direita: 1-2\cdot(-2)=1+4=5,\;0-2\cdot1=-2,\;0-2\cdot0=0.
A matriz ampliada passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2 & 5 & -2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 7

Agora zerei a posição (3,2) usando o pivô em (2,2):
R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Calculando linha 3 nova:
  • Colunas esquerda: 0-0=0,\;1-1=0,\;2-1=1.
  • Colunas direita: 0-(-2)=2,\;0-1=-1,\;1-0=1.
A matriz ampliada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2 & 5 & -2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right].

Passo 8

Agora usei os pivôs (1,1), (2,2) e agora (3,3)=1. Vou zerar as entradas acima do pivô da terceira coluna. Primeiro elimino o -2 em (1,3):
R_1 \leftarrow R_1 + 2R_3.
Calculando linha 1 nova:
  • Colunas esquerda: 1,\;0,\;-2+2\cdot1=0.
  • Colunas direita: 5+2\cdot2=5+4=9,\;-2+2\cdot(-1)=-2-2=-4,\;0+2\cdot1=2.
A matriz ampliada torna-se
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 9 & -4 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right].

Passo 9

Agora elimino o 1 em (2,3) usando R_3:
R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
Calculando linha 2 nova:
  • Colunas esquerda: 0,\;1,\;1-1=0.
  • Colunas direita: -2-2=-4,\;1-(-1)=2,\;0-1=-1.
A matriz ampliada final é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 9 & -4 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & -4 & 2 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right].

Passo 10

Chegamos à forma [I\mid X], logo X é B^{-1}. Portanto a inversa é a parte direita da matriz ampliada obtida.

Resposta

B^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 9 & -4 & 2 \\\\ -4 & 2 & -1 \\\\ 2 & -1 & 1 \end{array}\right]