Existe algum espaço vetorial com número finito de vetores?

Passo 1

O que a pergunta pede: determinar se existe algum espaço vetorial que contenha um número finito de vetores (isto é, com cardinalidade finita).
Informações relevantes dadas (implícitas na pergunta): não foi especificado qual é o corpo (campo) sobre o qual o espaço vetorial está definido, portanto é preciso considerar as possibilidades. A pergunta é sobre existência — quer-se saber se existem exemplos e, se sim, em que condições eles existem.

Passo 2

Definições e lembretes essenciais (bem mastigados):
  • Um espaço vetorial V sobre um corpo (campo) \mathbb{F} é um conjunto com operações de adição e multiplicação por escalares (elementos de \mathbb{F}) que satisfazem certas propriedades (fechamento, associatividade, existência do vetor nulo, etc.).
  • O conjunto V pode ter cardinalidade finita ou infinita. A pergunta trata do caso “finito”.
  • Exemplos de corpos: \mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{F}_p (campo finito com p elementos, p primo).
  • Uma observação trivial e importante: o espaço formado só pelo vetor nulo, que denotamos por \{0\}, é sempre um espaço vetorial sobre qualquer corpo. Esse espaço tem exatamente um elemento.
Vou mostrar explicitamente por que \{0\} é um espaço vetorial e por que isso já responde parcialmente à pergunta.

Passo 3

Verificando o espaço trivial \{0\}:
  • O conjunto \{0\} contém apenas o vetor nulo 0.
  • Soma: 0+0=0 e é fechado na soma.
  • Multiplicação por escalar: para qualquer \lambda\in\mathbb{F}, \lambda\cdot 0 = 0.
  • Todas as axiomas do espaço vetorial são satisfeitos (associatividade, comutatividade da soma, existência do nulo e do oposto, distributividades, etc.) de forma trivial.
    Portanto, existe pelo menos um espaço vetorial com número finito de vetores: \{0\}, que tem exatamente um elemento.

Passo 4

Agora vamos analisar espaços vetoriais não-triviais (ou seja, com algum vetor v\neq0). Primeiro o caso em que o corpo é infinito (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{Q}).
Proposição: se \mathbb{F} é infinitamente grande e V é um espaço vetorial sobre \mathbb{F} contendo algum vetor v\neq0, então V tem infinitos elementos.
Prova passo a passo:
  • Considere a função \varphi:\mathbb{F}\to V dada por \varphi(\lambda)=\lambda v.
  • Mostre que \varphi é injetora quando v\neq0. Se \varphi(\lambda)=\varphi(\mu) então \lambda v=\mu v. Subtraindo, (\lambda-\mu)v=0. Como v\neq0 e \mathbb{F} é um campo, se \alpha v=0 então \alpha=0 (porque \alpha\neq0 teria inverso \alpha^{-1} e levaria a v=0, contradição). Portanto \lambda-\mu=0, logo \lambda=\mu. Assim \varphi é injetora.
  • Se \mathbb{F} é infinito, a imagem de \varphi tem o mesmo tamanho infinito de \mathbb{F}. Logo V contém infinitos elementos.
    Conclusão parcial: sobre um corpo infinito, o único espaço vetorial finito é o espaço trivial \{0\}.

Passo 5

Agora o caso em que o corpo \mathbb{F} é finito. Seja |\mathbb{F}|=q (um inteiro positivo). Pergunta: existem espaços vetoriais não-triviais finitos? Sim — e podemos contar quantos elementos eles têm.
Teorema e razãoamento:
  • Se V é um espaço vetorial finito-dimensional sobre um corpo finito \mathbb{F} com |\mathbb{F}|=q e \dim V = n (com n inteiro não negativo), então |V|=q^n.
  • Por que: escolha uma base \{e_1,\dots,e_n\} de V. Todo vetor v\in V pode ser escrito de forma única como
v = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n,
onde cada a_i\in\mathbb{F}. Cada coeficiente a_i tem q possibilidades independentes, então o número total de combinações de coeficientes (e portanto de vetores v) é q\cdot q \cdots q = q^n.
  • Assim, quando \mathbb{F} é finito, não só existem espaços vetoriais finitos não-triviais, como todos eles (de dimensão finita) têm cardinalidade uma potência de q. Exemplos concretos: \mathbb{F}_2^3 tem 2^3=8 vetores; \mathbb{F}_5^2 tem 5^2=25 vetores.
Observação adicional: se V for finito e não-trivial então necessariamente \mathbb{F} deve ser finito (pois, caso contrário, pelo Passo 4 V seria infinito). Logo a condição “campo finito” é essencial para existirem espaços vetoriais finitos não-triviais.

Passo 6

Resumo final e exemplos amistosos (para fixar):
  • Sempre existe um espaço vetorial finito: o espaço trivial \{0\} (tem \,1 elemento) sobre qualquer corpo.
  • Espaços vetoriais não-triviais e finitos existem exatamente quando o corpo \mathbb{F} é finito. Se |\mathbb{F}|=q e \dim V=n então |V|=q^n.
  • Exemplos: \{0\} (tamanho 1); \mathbb{F}_2^3 (tamanho 8); \mathbb{F}_7^1 (tamanho 7).
    Força aí — a ideia-chave para levar pra prova: "se o corpo é infinito, qualquer vetor não-nulo gera infinitos múltiplos; se o corpo é finito, conte as combinações de coordenadas numa base para obter q^n".

Resposta

Sim. O espaço trivial \{0\} tem 1 elemento. Além disso, existem espaços vetoriais finitos não-triviais exatamente quando o corpo \mathbb{F} é finito; se |\mathbb{F}|=q e \dim V=n então |V|=q^n.