Existe algum espaço vetorial com número finito de vetores?
Passo 1
O que a pergunta pede: determinar se existe algum espaço vetorial que contenha um número finito de vetores (isto é, com cardinalidade finita).
Informações relevantes dadas (implícitas na pergunta): não foi especificado qual é o corpo (campo) sobre o qual o espaço vetorial está definido, portanto é preciso considerar as possibilidades. A pergunta é sobre existência — quer-se saber se existem exemplos e, se sim, em que condições eles existem.
Informações relevantes dadas (implícitas na pergunta): não foi especificado qual é o corpo (campo) sobre o qual o espaço vetorial está definido, portanto é preciso considerar as possibilidades. A pergunta é sobre existência — quer-se saber se existem exemplos e, se sim, em que condições eles existem.
Passo 2
Definições e lembretes essenciais (bem mastigados):
- Um espaço vetorial
sobre um corpo (campo) é um conjunto com operações de adição e multiplicação por escalares (elementos de ) que satisfazem certas propriedades (fechamento, associatividade, existência do vetor nulo, etc.). - O conjunto
pode ter cardinalidade finita ou infinita. A pergunta trata do caso “finito”. - Exemplos de corpos:
, , (campo finito com elementos, primo). - Uma observação trivial e importante: o espaço formado só pelo vetor nulo, que denotamos por
, é sempre um espaço vetorial sobre qualquer corpo. Esse espaço tem exatamente um elemento.
Vou mostrar explicitamente por que
é um espaço vetorial e por que isso já responde parcialmente à pergunta.
Passo 3
Verificando o espaço trivial
:
- O conjunto
contém apenas o vetor nulo . - Soma:
e é fechado na soma. - Multiplicação por escalar: para qualquer
, . - Todas as axiomas do espaço vetorial são satisfeitos (associatividade, comutatividade da soma, existência do nulo e do oposto, distributividades, etc.) de forma trivial.
Portanto, existe pelo menos um espaço vetorial com número finito de vetores:, que tem exatamente um elemento.
Passo 4
Agora vamos analisar espaços vetoriais não-triviais (ou seja, com algum vetor
). Primeiro o caso em que o corpo é infinito (por exemplo
ou
).
Proposição: se
é infinitamente grande e
é um espaço vetorial sobre
contendo algum vetor
, então
tem infinitos elementos.
Prova passo a passo:
- Considere a função
dada por . - Mostre que
é injetora quando . Se então . Subtraindo, . Como e é um campo, se então (porque teria inverso e levaria a , contradição). Portanto , logo . Assim é injetora. - Se
é infinito, a imagem de tem o mesmo tamanho infinito de . Logo contém infinitos elementos.
Conclusão parcial: sobre um corpo infinito, o único espaço vetorial finito é o espaço trivial.
Passo 5
Agora o caso em que o corpo
é finito. Seja
(um inteiro positivo). Pergunta: existem espaços vetoriais não-triviais finitos? Sim — e podemos contar quantos elementos eles têm.
Teorema e razãoamento:
- Se
é um espaço vetorial finito-dimensional sobre um corpo finito com e (com inteiro não negativo), então . - Por que: escolha uma base
de . Todo vetor pode ser escrito de forma única como
onde cada
. Cada coeficiente
tem
possibilidades independentes, então o número total de combinações de coeficientes (e portanto de vetores
) é
.
- Assim, quando
é finito, não só existem espaços vetoriais finitos não-triviais, como todos eles (de dimensão finita) têm cardinalidade uma potência de . Exemplos concretos: tem vetores; tem vetores.
Observação adicional: se
for finito e não-trivial então necessariamente
deve ser finito (pois, caso contrário, pelo Passo 4
seria infinito). Logo a condição “campo finito” é essencial para existirem espaços vetoriais finitos não-triviais.
Passo 6
Resumo final e exemplos amistosos (para fixar):
- Sempre existe um espaço vetorial finito: o espaço trivial
(tem elemento) sobre qualquer corpo. - Espaços vetoriais não-triviais e finitos existem exatamente quando o corpo
é finito. Se e então . - Exemplos:
(tamanho ); (tamanho ); (tamanho ).
Força aí — a ideia-chave para levar pra prova: "se o corpo é infinito, qualquer vetor não-nulo gera infinitos múltiplos; se o corpo é finito, conte as combinações de coordenadas numa base para obter".
Resposta
Sim. O espaço trivial
tem
elemento. Além disso, existem espaços vetoriais finitos não-triviais exatamente quando o corpo
é finito; se
e
então
.