1. Existe um campo vetorial \mathbf{F} tal que
\operatorname{rot} \mathbf{F}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pergunta se existe um campo vetorial \mathbf{F} tal que
\operatorname{rot}\mathbf{F}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}.
Informações relevantes dadas:
  • A função à direita é o campo \mathbf{G}(x,y,z)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}.
  • Não foi dito explicitamente o domínio, então assumimos o domínio usual \mathbb{R}^3 e que \mathbf{F} é suficientemente suave (pelo menos duas vezes diferenciável), que é a hipótese padrão nesses problemas.
  • A pergunta é de existência: existe algum \mathbf{F} com \operatorname{rot}\mathbf{F}=\mathbf{G}?

Passo 2

Vamos lembrar e explicar uma identidade fundamental que será usada: para qualquer campo vetorial suficientemente suave \mathbf{F} vale
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{F})=0.
O que é cada operador?
  • Se \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3), então a divergência é definida por
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
  • O rotacional (curl) é
\operatorname{rot}\mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf{k}.
Agora calcule a divergência do rotacional (fazendo passo a passo): se chamarmos \operatorname{rot}\mathbf{F}=(C_1,C_2,C_3), então
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{F}) =\frac{\partial C_1}{\partial x}+\frac{\partial C_2}{\partial y}+\frac{\partial C_3}{\partial z}.
Substituindo os C_i,
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{F}) =\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right) +\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right) +\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right).
Reagrupando termos obtém-se somas de derivadas mistas com sinais opostos:
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{F}) =\frac{\partial^2 F_3}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 F_2}{\partial x\partial z} +\frac{\partial^2 F_1}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2 F_3}{\partial y\partial x} +\frac{\partial^2 F_2}{\partial z\partial x}-\frac{\partial^2 F_1}{\partial z\partial y}.
Usando a igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Clairaut) para funções C^2 — isto é,
\frac{\partial^2 F_i}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 F_i}{\partial y\partial x} — cada termo cancela com outro, resultando em zero. Portanto a identidade está demonstrada e é uma propriedade ponto a ponto (não depende do domínio): sempre que \mathbf{F} for suficientemente suave,
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{F})=0.

Passo 3

Agora calcule a divergência do campo dado \mathbf{G}(x,y,z)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}. Aplicando a definição:
\operatorname{div}\mathbf{G} =\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(y)+\frac{\partial}{\partial z}(z).
Cada derivada parcial é 1, então
\operatorname{div}\mathbf{G}=1+1+1=3.

Passo 4

Conclusão lógica: se existisse \mathbf{F} suave com \operatorname{rot}\mathbf{F}=\mathbf{G}, então aplicar divergência em ambos os lados daria
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{F})=\operatorname{div}\mathbf{G}.
Pelo Passo 2 a esquerda vale 0; pelo Passo 3 a direita vale 3. Isso é uma contradição, porque 0\neq3. Portanto não existe nenhum campo vetorial suave \mathbf{F} em \mathbb{R}^3 (ou em qualquer aberto onde \mathbf{F} seja C^2) tal que
\operatorname{rot}\mathbf{F}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}.
(Observação amigável: essa é uma condição ponto-a-ponto — não é questão de domínio ou topologia — a identidade \operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{F})=0 sempre vale para campos suaves, então a obstrução é imediata.)

Resposta

Não existe tal campo vetorial, pois \operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{F})=0 para qualquer \mathbf{F} suave, enquanto \operatorname{div}(x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k})=3\neq0.

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