- Existe um campo vetorial
tal que
Passo 1
O enunciado pergunta se existe um campo vetorial
tal que
Informações relevantes dadas:
- A função à direita é o campo
. - Não foi dito explicitamente o domínio, então assumimos o domínio usual
e que é suficientemente suave (pelo menos duas vezes diferenciável), que é a hipótese padrão nesses problemas. - A pergunta é de existência: existe algum
com ?
Passo 2
Vamos lembrar e explicar uma identidade fundamental que será usada: para qualquer campo vetorial suficientemente suave
vale
O que é cada operador?
- Se
, então a divergência é definida por
- O rotacional (curl) é
Agora calcule a divergência do rotacional (fazendo passo a passo): se chamarmos
, então
Substituindo os
,
Reagrupando termos obtém-se somas de derivadas mistas com sinais opostos:
Usando a igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Clairaut) para funções
— isto é,
— cada termo cancela com outro, resultando em zero. Portanto a identidade está demonstrada e é uma propriedade ponto a ponto (não depende do domínio): sempre que
for suficientemente suave,
Passo 3
Agora calcule a divergência do campo dado
. Aplicando a definição:
Cada derivada parcial é
, então
Passo 4
Conclusão lógica: se existisse
suave com
, então aplicar divergência em ambos os lados daria
Pelo Passo 2 a esquerda vale
; pelo Passo 3 a direita vale
. Isso é uma contradição, porque
. Portanto não existe nenhum campo vetorial suave
em
(ou em qualquer aberto onde
seja
) tal que
(Observação amigável: essa é uma condição ponto-a-ponto — não é questão de domínio ou topologia — a identidade
sempre vale para campos suaves, então a obstrução é imediata.)
Resposta
Não existe tal campo vetorial, pois
para qualquer
suave, enquanto
.