(a) O que é uma superfície parametrizada? O que são suas curvas de grade?
(b) Escreva uma expressão para a área de uma superfície parametrizada.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Definir o que é uma superfície parametrizada e o que são as suas curvas de grade.
  2. (b) Escrever uma expressão para a área de uma superfície parametrizada.
Informações dadas: nenhuma fórmula específica no enunciado — devemos dar definições e a fórmula geral da área. Vou explicar passo a passo, com exemplos e mostrando como chegar na fórmula da área.

Passo 2

O que é parametrizar? Primeiro, lembra do seguinte: parametrizar é dar uma regra que associa cada ponto de um domínio em \mathbb{R}^2 a um ponto no espaço \mathbb{R}^3. Para superfícies usamos duas variáveis parâmetros (por exemplo u e v).
Definição prática e formal: uma superfície parametrizada é uma função vetorial
\mathbf{r}:\;D\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, \qquad \mathbf{r}(u,v)=\big(x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)\big),
onde D é uma região do plano dos parâmetros (u,v). Cada par (u,v)\in D produz um ponto \mathbf{r}(u,v) no espaço; a imagem \mathbf{r}(D) é a superfície parametrizada.
Condições importantes (explicação didática): para a parametrização ser “bonita” (suave, sem dobras infinitas, sem colapsar localmente), pede-se normalmente que as derivadas parciais \mathbf{r}_u=\partial\mathbf{r}/\partial u e \mathbf{r}_v=\partial\mathbf{r}/\partial v existam e sejam contínuas, e que o vetor \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v não seja o vetor zero (ou seja, não sejam colineares) na maioria dos pontos — isso garante que localmente a parametrização define uma pequena “placa” da superfície.

Passo 3

O que são as curvas de grade? Intuitivamente: ao desenhar no plano dos parâmetros uma grade ortogonal de linhas u=\text{constante} e v=\text{constante}, a parametrização carrega essa grade para a superfície — as curvas resultantes sobre a superfície são as curvas de grade.
Formalmente: para um u_0 fixo, a curva de grade tipo 1 é
\gamma_{u_0}(v)=\mathbf{r}(u_0,v),\quad v\in I_v,
e para um v_0 fixo, a curva de grade tipo 2 é
\gamma_{v_0}(u)=\mathbf{r}(u,v_0),\quad u\in I_u.
Essas curvas são chamadas de curvas de coordenadas ou curvas de grade; elas mostram como as linhas do domínio aparecem sobre a superfície (por exemplo, em uma esfera param. por (\varphi,\theta), as curvas de grade são paralelos e meridianos).

Passo 4

Agora vamos chegar na expressão da área — ideia geométrica. Pegue um pequeno retângulo no domínio dos parâmetros, com lados \Delta u e \Delta v. A parametrização manda esse retângulo para uma pequena região da superfície que, para \Delta u,\Delta v pequenos, é bem aproximada por um paralelogramo cujos lados são aproximadamente os vetores
\mathbf{r}_u(u,v)\,\Delta u \qquad\text{e}\qquad \mathbf{r}_v(u,v)\,\Delta v,
onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais.
Lembrando geometria vetorial: a área de um paralelogramo gerado por dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} é |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|. Portanto a área aproximada desse pedaço da superfície é
\big|\mathbf{r}_u(u,v)\times\mathbf{r}_v(u,v)\big|\,\Delta u\,\Delta v.
Passando ao limite (somando essas áreas pequenas e fazendo o limite), obtemos a integral de área.

Passo 5

Fórmula final (expressão para a área): a área da superfície parametrizada \mathbf{r}:D\to\mathbb{R}^3 é
\text{Área}(\mathbf{r}(D))=\iint_{D}\big|\mathbf{r}_u(u,v)\times\mathbf{r}_v(u,v)\big|\,du\,dv.Á
Aqui \mathbf{r}_u=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} e \mathbf{r}_v=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}. O integrando \big|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big| é chamado de elemento de área da superfície (ou fator de estiramento da parametrização).

Passo 6

Explicação do que significa o integrando: o vetor \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v é normal à superfície e seu módulo mede a área do paralelogramo formado por \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v. Se a parametrização “estica” muito o domínio localmente, o módulo será grande; se “comprime”, será pequeno. O valor absoluto garante área positiva independentemente da orientação.

Passo 7

Exemplo 1 (gráfico de uma função): se a superfície é um gráfico z=f(x,y) sobre uma região D do plano xy, podemos usar a parametrização \mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y)). Calculamos:
\mathbf{r}_x=(1,0,f_x),\qquad \mathbf{r}_y=(0,1,f_y).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = (-f_x,\,-f_y,\,1),
e o módulo é
\big|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\big|=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}.
Logo a área é
\iint_{D}\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,dx\,dy.
Esse é um caso que costuma cair muito em provas — decore o procedimento: parametrize por (x,y), calcule \mathbf{r}_x,\mathbf{r}_y, faça o cross e tire a raiz.

Passo 8

Exemplo 2 (esfera de raio R): parametrização esférica habitual
\mathbf{r}(\varphi,\theta)=R\big(\sin\varphi\cos\theta,\;\sin\varphi\sin\theta,\;\cos\varphi\big), \qquad 0<\varphi<\pi,\;0<\theta<2\pi.
Calculando as derivadas e o produto vetorial (passos mecânicos: derivar componentes, formar o cross), obtém-se
\big|\mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_\theta\big|=R^2\sin\varphi.
Portanto a área da esfera é
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} R^2\sin\varphi\;d\varphi\,d\theta = 4\pi R^2,
o resultado clássico. Esse exemplo mostra como escolher bons parâmetros facilita o cálculo.

Passo 9

Resumo/checagem rápida para fazer na prova (como eu faria se estivesse nervoso): 1) identificar uma parametrização \mathbf{r}(u,v) do pedaço de superfície; 2) calcular \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v; 3) formar \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v e tirar o módulo; 4) integrar |\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v| sobre o domínio dos parâmetros. Se for gráfico z=f(x,y), lembre da fórmula \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}.

Resposta

(a) Uma superfície parametrizada é a imagem de uma função vetorial \mathbf{r}:D\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, \mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)); as curvas de grade são as curvas obtidas ao fixar u (curvas \mathbf{r}(u_0,v)) ou v (curvas \mathbf{r}(u,v_0)), isto é, as imagens das linhas do domínio dos parâmetros.
(b) \displaystyle \text{Área}=\iint_{D}\big|\mathbf{r}_u(u,v)\times\mathbf{r}_v(u,v)\big|\,du\,dv.Á

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