1. Existe um campo vetorial \mathbf{G} em \mathbb{R}^{3} tal que rot \mathbf{G}=\left\langle x y z,-y^{2} z, y z^{2}\right\rangle ? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe um campo vetorial \mathbf{G}\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 tal que
\rot \mathbf{G} \;=\;\bigl\langle xyz,\,-y^2z,\,yz^2\bigr\rangle.
Em \mathbb{R}^3 simplesmente conexo, um campo \mathbf{F} é imagem de \rot se, e somente se,
\div \mathbf{F} \;=\;0,
pois sempre vale \div(\rot\mathbf{G})=0.

Passo 2

Seja \mathbf{F}(x,y,z)=\bigl\langle P,Q,R\bigr\rangle=\bigl\langle xyz,\,-y^2z,\,yz^2\bigr\rangle.
Calculemos
\div\mathbf{F} =\frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial y} +\frac{\partial R}{\partial z}.

Passo 3

Computando cada termo:
\frac{\partial P}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(xyz) =yz, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(-y^2z) =-2yz, \quad \frac{\partial R}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}(yz^2) =2yz.
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\div\mathbf{F} =yz-2yz+2yz =yz\neq0
para pontos genéricos.

Resposta

Não existe tal campo \mathbf{G}, pois a condição necessária \div(\rot\mathbf{G})=0 falha.