3 Existem 25 milhões de linhas telefônicas em um determinado estado, identificadas por uma sequência de 10 dígitos da forma NXX-NXX-XXXX, onde N é um dígito entre 2 e 9 inclusive, X é um dígito qualquer e os primeiros 3 dígitos constituem o código de DDD. Quantos códigos distintos de DDD o estado deve admitir para que a cada linha telefônica, corresponda uma sequência de 10 dígitos distinta das demais?
Passo 1
O enunciado diz que o estado tem 25\,000\,000 linhas telefônicas, cada uma identificada por uma sequência de 10 dígitos no formato NXX-NXX-XXXX. Os três primeiros dígitos formam o código de DDD (onde N varia de 2 a 9 e X de 0 a 9). A tarefa usa contagem de combinações (princípio multiplicativo) para achar quantos códigos de DDD são necessários para gerar pelo menos 25\,000\,000 números distintos.
Passo 2
Dentro de cada DDD, o bloco do prefixo (“NXX”) tem:
\underbrace{8}_{\text{valores de N (2–9)}}\times\underbrace{10}_{\text{primeiro X}}\times\underbrace{10}_{\text{segundo X}} =800
combinações possíveis de prefixo.
Passo 3
O sufixo (“XXXX”) admite
10^4 = 10000
combinações de dígitos.
Passo 4
Logo, cada código de DDD oferece
800 \times 10000 = 8000000
números de telefone distintos.
Passo 5
Precisamos que o total de linhas seja pelo menos 25000000. Sejam k os códigos de DDD, então
k \times 8000000 \ge 25000000 \quad\Longrightarrow\quad k \ge \frac{25000000}{8000000} = 3{,}125.