Existem algumas integrais que não podem ser resolvidas de forma analítica, isto é, pelas técnicas vistas em sala. Entretanto podem ser calculadas de forma numérica.
Calcule a integral \int_{1 / 2}^{1} \frac{\operatorname{sen} x}{x} d x com precisão de cinco casas decimais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular numericamente
\int_{1/2}^{1}\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dx
com precisão de cinco casas decimais.
Este é um caso em que não há primitiva elementar em termos de funções usuais, então vamos usar o método de Simpson composto, que garante erro da ordem de O(h^4) e permite atingir facilmente a precisão desejada.
Passo 2
No método de Simpson composto, dividimos o intervalo [1/2,1] em n subintervalos de largura h=(1-1/2)/n. A fórmula diz:
e para f(x)=\operatorname{sen} x/x toma-se um valor finito de \max|f^{(4)}| em [0,1]. Para garantir erro abaixo de 10^{-6}, escolhemos n=20, de modo que
h=\frac{1-1/2}{20}=0,025.
Passo 3
Com n=20 e h=0,025, avaliamos em cada nó x_i o valor y_i=\operatorname{sen}(x_i)/x_i (usando calculadora ou software) e computamos as somas necessárias. Substituindo na fórmula de Simpson composta obtemos