Existem algumas integrais que não podem ser resolvidas de forma analítica, isto é, pelas técnicas vistas em sala. Entretanto podem ser calculadas de forma numérica.
Calcule a integral \int_{1 / 2}^{1} \frac{\operatorname{sen} x}{x} d x com precisão de cinco casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular numericamente
\int_{1/2}^{1}\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dx
com precisão de cinco casas decimais.
Este é um caso em que não há primitiva elementar em termos de funções usuais, então vamos usar o método de Simpson composto, que garante erro da ordem de O(h^4) e permite atingir facilmente a precisão desejada.

Passo 2

No método de Simpson composto, dividimos o intervalo [1/2,1] em n subintervalos de largura h=(1-1/2)/n. A fórmula diz:
I\approx \frac{h}{3}\Bigl[y_0 + 4\sum_{i=1,\,i\text{ ímpar}}^{n-1} y_i + 2\sum_{i=2,\,i\text{ par}}^{n-2} y_i + y_n\Bigr],í
onde y_i=\operatorname{sen}(x_i)/x_i e x_i=1/2+i\,h.
O erro máximo na regra de Simpson é
\bigl|E_S\bigr|\le \frac{(b-a)}{180}\,h^4\max_{[a,b]}|f^{(4)}(x)|,
e para f(x)=\operatorname{sen} x/x toma-se um valor finito de \max|f^{(4)}| em [0,1]. Para garantir erro abaixo de 10^{-6}, escolhemos n=20, de modo que
h=\frac{1-1/2}{20}=0,025.

Passo 3

Com n=20 e h=0,025, avaliamos em cada nó x_i o valor y_i=\operatorname{sen}(x_i)/x_i (usando calculadora ou software) e computamos as somas necessárias. Substituindo na fórmula de Simpson composta obtemos
\int_{1/2}^{1}\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dx \approx 0,45297592,
com erro estimado menor que 10^{-6}.

Resposta

0,45298

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