Expanda as potências abaixo utilizando as devidas propriedades (Ex.: x^{3+2}=x^{2} x^{2} )
t^{k+2}

Passo 1

O enunciado pede para expandir a potência \,t^{k+2}\, usando propriedades de potências.
Informações dadas:
  • A expressão a expandir é \,t^{k+2}\,.
  • Não foi especificado o tipo de k no enunciado; vou trabalhar com a propriedade de potências válida para inteiros (positivos, zero ou negativos) e também válida em geral para expoentes reais quando a base for adequada.
    O objetivo é escrever \,t^{k+2}\, como um produto de potências ou como produto repetido de fatores t, usando as regras das potências.

Passo 2

Apresentar a propriedade de potências que vamos usar. A regra básica é:
a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}
Explicando: nessa fórmula, a é a base (um número ou variável) e m,n são expoentes. A propriedade diz que elevar a à soma dos expoentes é o mesmo que multiplicar as potências com esses expoentes separadamente. Essa é a propriedade que permite “separar” um expoente somado em um produto.

Passo 3

Aplicar a propriedade ao caso \,t^{k+2}\,. Tomando a=t, m=k e n=2 na propriedade, obtemos:
t^{k+2}=t^{k}\cdot t^{2}.
Isso já é uma expansão: escrevemos a potência com expoente somado como produto de duas potências com expoentes menores.

Passo 4

Entender o que cada fator significa. Se k for um inteiro não negativo, então:
t^{k}= \underbrace{t\cdot t\cdot \dots \cdot t}_{k\\ \text{vezes}} \qquad\text{e}\qquad t^{2}=t\cdot t.
Multiplicando,
t^{k}\cdot t^{2}=\underbrace{t\cdot t\cdot \dots \cdot t}_{k\\ \text{vezes}}\cdot t\cdot t =\underbrace{t\cdot t\cdot \dots \cdot t}_{k+2\\ \text{vezes}} = t^{k+2}.
Ou seja, expandindo totalmente como produto repetido, aparecem k+2 fatores t.

Passo 5

Mostrar formas alternativas de escrever a mesma expansão, úteis na prova:
t^{k+2}=t^{k}\cdot t^{2}=t^{2}\cdot t^{k}=t^{k}\cdot t\cdot t.
A ordem na multiplicação não importa (comutatividade), então pode-se colocar t^{2} antes ou depois de t^{k}.

Passo 6

Exemplos concretos para fixar a ideia:
  • Se k=0: \,t^{0+2}=t^{2}=t\cdot t.
  • Se k=1: \,t^{1+2}=t^{3}=t\cdot t\cdot t.
  • Se k=3: \,t^{3+2}=t^{5}=t\cdot t\cdot t\cdot t\cdot t.

Passo 7

Observação sobre k negativo (só para completar): se k for negativo, a igualdade \,t^{k+2}=t^{k}\cdot t^{2}\, continua válida sempre que as potências estejam definidas (por exemplo t\neq 0 se houver expoente negativo). Exemplo: se k=-3,
t^{-3+2}=t^{-1}=\frac{1}{t}, \qquad t^{-3}\cdot t^{2}= \frac{1}{t^{3}}\cdot t^{2}=\frac{1}{t}.

Resposta

t^{k+2}=t^{k}\cdot t^{2}=t^{k}\cdot t\cdot t