Em uma expansăo ou compressăo politrópica, o que causa variaçăo de n ?

Passo 1

O enunciado pergunta o que faz o expoente n variar em um processo politrópico de expansão ou compressão de gás ideal. O conteúdo envolve a definição do processo politrópico
p\,V^n = \text{constante}
e a aplicação da primeira lei da termodinâmica para gases ideais, de modo a relacionar o calor trocado \delta Q com o trabalho \delta W e daí entender de onde sai o valor de n.

Passo 2

Em um processo politrópico temos
p\,V^n = C
onde C é constante. Diferenciando em cada ponto:
d(p\,V^n)=0 \quad\Longrightarrow\quad p\,n\,V^{n-1}\,dV + V^n\,dp=0 \quad\Longrightarrow\quad dp = -\,n\,\frac{p}{V}\,dV.

Passo 3

Pela primeira lei, para um gás ideal de massa m,
\delta Q = dU + \delta W \quad\text{com}\quad dU = m\,c_v\,dT, \quad \delta W = p\,dV.
Usando a equação de estado pV=mRT para obter dT em função de dV e dp, chega-se à expressão diferencial
\delta Q = \frac{\gamma - n}{\gamma - 1}\,p\,dV,
onde \gamma = c_p/c_v.

Passo 4

Como \delta W = p\,dV, podemos escrever
\frac{\delta Q}{\delta W} = \frac{\gamma - n}{\gamma - 1} \quad\Longrightarrow\quad n = \gamma - (\gamma - 1)\,\frac{\delta Q}{\delta W}.
Assim, n depende diretamente da razão entre o calor trocado \delta Q e o trabalho realizado \delta W ao longo do processo.

Passo 5

Físicamente, isso significa que o valor de n é controlado pela quantidade de calor que entra ou sai do sistema em comparação com o trabalho que ele faz. Processos muito rápidos (baixa troca de calor) tendem a n\approx\gamma (quase adiabático), já processos muito lentos e bem aquecidos/resfriados tendem a n\approx1 (quase isotérmico). Portanto, isolamento térmico, condutividade, área de troca e velocidade de compressão/expansão são os fatores que fazem n variar.

Resposta

O expoente n varia em função da razão entre o calor trocado e o trabalho realizado durante o processo; em outras palavras, depende das condições de transferência de calor (isolamento, condutividade, área de troca, velocidade do pistão etc.).

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