7 Um metal é deformado em um ensaio de tração até a sua região plástica. O corpo de prova tem comprimento de medida inicial =2,0 in e área =0,50 \mathrm{in}^{2}. Em um ponto do ensaio de tração, o comprimento de medida 2,5 in e a tensão de engenharia correspondente =24.000 \mathrm{lb} / \mathrm{in}^{2}; em outro ponto do ensaio, antes da estricção, o comprimento de medida =3,2 in e a tensão de engenharia correspondente =28.000 \mathrm{lb} / \mathrm{in}^{2}. Determine o coeficiente de resistência e o expoente de encruamento do material.

Passo 1

O enunciado trata de um ensaio de tração onde o material, após atingir a região plástica, segue a lei de Hollomon
\sigma_{\text{true}} = K\,\varepsilon_{\text{true}}^{\,n}
Precisamos calcular, em dois pontos do ensaio, as deformações de engenharia, convertê-las em deformação verdadeira \varepsilon_{\text{true}} e as tensões de engenharia em tensões verdadeiras \sigma_{\text{true}}, e depois determinar o expoente de encruamento n e o coeficiente de resistência K.

Passo 2

Calcular as deformações de engenharia \varepsilon_{\text{eng}}=(L - L_0)/L_0 nos dois pontos:
Para L_0=2{,}0,in e L_1=2{,}5,in:
\varepsilon_{\text{eng},1} = \frac{2{,}5 - 2{,}0}{2{,}0} = 0{,}25
Para L_2=3{,}2,in:
\varepsilon_{\text{eng},2} = \frac{3{,}2 - 2{,}0}{2{,}0} = 0{,}60

Passo 3

Converter para deformação verdadeira \varepsilon_{\text{true}} = \ln(1+\varepsilon_{\text{eng}}) e tensão verdadeira \sigma_{\text{true}}=\sigma_{\text{eng}}\,(1+\varepsilon_{\text{eng}}):
Para o ponto 1, \sigma_{\text{eng},1}=24\,000,psi:
\varepsilon_{\text{true},1} = \ln(1+0{,}25) = 0{,}2231,\quad \sigma_{\text{true},1} = 24\,000\times1{,}25 = 30\,000\\ \text{psi}
Para o ponto 2, \sigma_{\text{eng},2}=28\,000,psi:
\varepsilon_{\text{true},2} = \ln(1+0{,}60) = 0{,}4700,\quad \sigma_{\text{true},2} = 28\,000\times1{,}60 = 44\,800\\ \text{psi}

Passo 4

Usar a razão entre as duas condições para eliminar K e encontrar n:
\frac{\sigma_{\text{true},2}}{\sigma_{\text{true},1}} = \frac{44\,800}{30\,000} = \Bigl(\frac{\varepsilon_{\text{true},2}}{\varepsilon_{\text{true},1}}\Bigr)^{n} \quad\Longrightarrow\quad \frac{44\,800}{30\,000} = \Bigl(\frac{0{,}4700}{0{,}2231}\Bigr)^{n}
Tomando logaritmo:
n = \frac{\ln(44\,800/30\,000)}{\ln(0{,}4700/0{,}2231)} \approx \frac{\ln(1{,}4933)}{\ln(2{,}106)} \approx 0{,}54

Passo 5

Substituir n em uma das equações de Hollomon para achar K. Usando a condição 1:
K = \frac{\sigma_{\text{true},1}}{\varepsilon_{\text{true},1}^{\,n}} = \frac{30\,000}{(0{,}2231)^{0{,}54}} \approx 6{,}7\times10^{4}\\ \text{psi}

Resposta

Expoente de encruamento: n \approx 0{,}54
Coeficiente de resistência: K \approx 6,7\times10^{4}\\ \mathrm{lb/in^{2}}

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