Em um experimento de adubação, a resposta do crescimento da planta, em centímetros, à adição de fertilizante x, medido \mathrm{em} \mathrm{kg} / \mathrm{ha}, pode ser dada por f(x)=\frac{20 x}{x+5}.
(a) Descreva um possível domínio e imagem para esta função.
(b) Analise se f é crescente ou decrescente.
(c) Resolva as equações f(x)=16 e f(x)=21, justificando seus significados.

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional de adubação
f(x)=\frac{20\,x}{x+5},
onde x é a dose de fertilizante em \mathrm{kg}/\mathrm{ha} e f(x) o crescimento em centímetros. Precisamos:
– (a) escolher um domínio e determinar a imagem;
– (b) estudar a monotonicidade de f;
– (c) resolver f(x)=16 e f(x)=21 e interpretar as soluções.

Passo 2

(a) Domínio e imagem
A função tem assíntota vertical em x=-5, mas fisicamente faz sentido usar doses não negativas, então um domínio possível é
x\in[0,\infty).
Nesse intervalo temos
f(0)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=20,
logo a imagem é
f([0,\infty))=[0,20).

Passo 3

(b) Monotonicidade
Calculamos a derivada por quociente:
f'(x) =\frac{(20)(x+5)-(20x)(1)}{(x+5)^2} =\frac{100}{(x+5)^2}.
Como (x+5)^2>0 para todo x\neq-5, temos f'(x)>0 em [0,\infty). Portanto f é estritamente crescente no domínio considerado.

Passo 4

(c1) Resolver f(x)=16
\frac{20x}{x+5}=16 \;\Longrightarrow\; 20x=16(x+5) \;\Longrightarrow\; 20x=16x+80 \;\Longrightarrow\; 4x=80 \;\Longrightarrow\; x=20.
Significado: aplicar 20, \mathrm{kg}/\mathrm{ha} de fertilizante produz crescimento de 16,cm.

Passo 5

(c2) Resolver f(x)=21
\frac{20x}{x+5}=21 \;\Longrightarrow\; 20x=21(x+5) \;\Longrightarrow\; 20x=21x+105 \;\Longrightarrow\; -x=105 \;\Longrightarrow\; x=-105.
Essa solução sai do domínio físico x\ge0, logo não há dose não negativa que gere 21,cm de crescimento.

Resposta

(a) Domínio: [0,\infty); imagem: [0,20).
(b) f é estritamente crescente em [0,\infty).
(c) f(x)=16 x=20 ( 20, \mathrm{kg}/\mathrm{ha} 16,cm); f(x)=21 não tem solução em [0,\infty) (sem significado prático).

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