Em um experimento de interferência em filme fino, uma espessura t=250 \mathrm{~nm} de um material com índice de refração n=1,50 é observada no ar. Para qual comprimento de onda (no vácuo) a luz refletida sofrerá interferência totalmente destrutiva (maior comprimento de onda)?

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar para qual comprimento de onda no vácuo a luz refletida do filme fino sofrerá interferência totalmente destrutiva — pedir o maior comprimento de onda que satisfaz essa condição.
Informações fornecidas:
  • Espessura do filme: t=250\\ \mathrm{nm}.
  • Índice de refração do material do filme: n=1{,}50.
  • O filme é observado no ar (logo o meio acima e abaixo é o ar, com índice aproximado n_{\text{ar}}=1).

Passo 2

Entendendo o que acontece fisicamente (explicação didática, passo a passo).
  • A luz incidente sobre o filme gera duas reflexões principais que interferem: uma refletida na face superior (ar → filme) e outra refletida na face inferior (filme → ar).
  • Cada reflexão pode acumular uma mudança de fase adicional de \pi (ou seja, meio ciclo) dependendo se a reflexão ocorre numa interface de menor para maior índice ou vice‑versa. Regra prática simples: quando a onda reflete passando de um meio com índice menor para um meio com índice maior ocorre inversão de fase de \pi; quando reflete de meio com índice maior para menor não há inversão.
  • No nosso caso: na interface ar ( n\approx1) → filme ( n=1{,}50) a reflexão sofre inversão de fase ( \pi). Na interface filme → ar a reflexão NÃO sofre inversão de fase.
  • Além disso, a onda que reflete na face inferior percorre ida e volta através do filme, acumulando uma diferença de fase geométrica proporcional a 2t e à razão entre o comprimento de onda no filme e no vácuo. A relação entre comprimento de onda no filme e no vácuo é
\lambda_{\text{filme}}=\frac{\lambda_0}{n},
onde \lambda_0 é o comprimento de onda no vácuo que queremos achar, e n é o índice do filme.

Passo 3

Calcular a diferença de fase devido ao percurso extra dentro do filme.
  • A fase acumulada por uma viagem de comprimento L num meio é 2\pi L/\lambda_{\text{meio}}.
  • A onda refletida na face inferior percorre ida e volta, ou seja comprimento extra 2t dentro do filme. Logo a diferença de fase por percurso é
\varphi_{\text{caminho}} = \frac{2\pi}{\lambda_{\text{filme}}}\cdot 2t = \frac{2\pi}{\lambda_0/n}\cdot 2t = \frac{4\pi n t}{\lambda_0}.

Passo 4

Somar a contribuição de fase das inversões e escrever a condição de interferência destrutiva.
  • A reflexão na face superior introduz mais uma fase de \pi; a reflexão na face inferior não. Portanto a diferença total de fase entre as duas ondas refletidas é
\Delta\varphi = \varphi_{\text{caminho}} + \pi = \frac{4\pi n t}{\lambda_0} + \pi.
  • Para que haja interferência totalmente destrutiva entre duas ondas de amplitudes (assumidas comparáveis), a diferença de fase total deve ser um múltiplo ímpar de \pi:
\Delta\varphi = (2m+1)\pi,\qquad m=0,1,2,\dots
  • Substituindo:
\frac{4\pi n t}{\lambda_0} + \pi = (2m+1)\pi.

Passo 5

Isolar \lambda_0 e obter a condição geral para os comprimentos de onda destrutivos.
  • Subtraindo \pi dos dois lados:
\frac{4\pi n t}{\lambda_0} = 2m\pi.
  • Simplificando:
\frac{2 n t}{\lambda_0} = m.
  • Portanto os comprimentos de onda no vácuo que dão interferência totalmente destrutiva são
\lambda_0 = \frac{2 n t}{m},\qquad m=1,2,3,\dots
  • O maior comprimento de onda ocorre para o menor m permitido, ou seja m=1. Assim
\lambda_{\max} = 2 n t.

Passo 6

Calcular numericamente o maior comprimento de onda destrutivo usando os valores dados.
\lambda_{\max} = 2 n t = 2\cdot 1{,}50\cdot 250\\ \mathrm{nm} = 750\\ \mathrm{nm}.

Resposta

\;750\\ \mathrm{nm}