Em um experimento para medir a capacidade de memória de ratos foi utilizado o teste comportamental de exploração do ambiente. Sete ratos da raça Wister foram selecionados aleatoriamente, colocados em um local desconhecido e o tempo que eles gastaram explorando o ambiente foi anotado. Os dados são apresentados abaixo:
1021001058090110100 (Segundos)
Construa um intervalo de 95 \% de confiança para o tempo médio de exploração do ambiente para ratos Wister. Admita que a variável seja normalmente distribuída

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado):
  • Observações (tempos em segundos): 102,\;100,\;105,\;80,\;90,\;110,\;100. São 7 ratos.
  • Pede: construir um intervalo de confiança de 95\% para o tempo médio de exploração dos ratos Wister, supondo que a variável seja normalmente distribuída.

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vamos usar.
  • Aqui temos n=7 observações e a variância populacional é desconhecida. Para pequena amostra com normalidade e desvio desconhecido usamos o intervalo de Student (t).
  • A fórmula do intervalo de confiança para a média é
\bar{x}\\ \pm\\ t_{1-\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (estimativa pontual do tempo médio);
  • s é o desvio-padrão amostral (estimador não viciado da dispersão);
  • n é o tamanho da amostra;
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade; para 95\% de confiança temos \alpha=0,05 e usamos t_{0,975,\,n-1}.
  • Explicando pedagogicamente: a distribuição t aparece porque estamos estimando a variância a partir da própria amostra; ela leva em conta a incerteza extra quando n é pequeno. O fator \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma variar entre amostras).

Passo 3

Cálculo da média amostral \bar{x}.
  • Somando as observações (peguei estes números do enunciado):
\sum_{i=1}^{7} x_i = 102+100+105+80+90+110+100 = 687.
  • A média amostral é
\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\dfrac{687}{7}=\;98,142857\ldots
(ou seja \bar{x}\approx 98,14 segundos).

Passo 4

Cálculo da variância e do desvio-padrão amostrais s^2 e s.
  • A fórmula da variância amostral (não viciada) é
s^{2}=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
  • Para evitar perda de precisão mostro um cálculo exato parcial: note que \bar{x}=\dfrac{687}{7}. Então
x_i-\bar{x}=\dfrac{7x_i-687}{7}, \qquad (x_i-\bar{x})^{2}=\dfrac{(7x_i-687)^{2}}{49}.
  • Calculando (7x_i-687)^{2} para cada x_i e somando obtém-se
\sum_{i=1}^{7}(7x_i-687)^{2}=29638.
  • Logo
\sum_{i=1}^{7}(x_i-\bar{x})^{2}=\dfrac{29638}{49}=604,857142857\ldots
  • Portanto
s^{2}=\dfrac{604,857142857\ldots}{6}=100,8095238095\ldots
e o desvio-padrão amostral
s=\sqrt{s^{2}}\approx\sqrt{100,8095238}\approx 10,0404\\ \text{segundos}.
(Interpretação: os tempos individuais, em média, desviam-se cerca de 10,04 s da média.)

Passo 5

Cálculo do erro padrão da média \dfrac{s}{\sqrt{n}}.
  • O erro padrão (desvio padrão da média amostral) é
\text{EP}=\dfrac{s}{\sqrt{n}}=\dfrac{10,0404}{\sqrt{7}}.
  • Como \sqrt{7}\approx 2,64575131,
\text{EP}\approx \dfrac{10,0404}{2,64575131}\approx 3,79493\\ \text{segundos}.

Passo 6

Escolha do quantil t da distribuição de Student.
  • Temos n-1=6 graus de liberdade e nível de confiança 95\%. Então precisamos de t_{0,975,6}.
  • Consultando tabela de t ou calculadora obtém-se
t_{0,975,6}\approx 2,4469.
(Essa é a constante que amplia o erro padrão para criar o intervalo com 95\% de confiança.)

Passo 7

Cálculo da margem de erro e do intervalo de confiança.
  • A margem de erro é
\text{ME}=t_{0,975,6}\cdot\text{EP}\approx 2,4469\times 3,79493\approx 9,2859\\ \text{segundos}.
  • Logo o intervalo de confiança é
\bar{x}\\ \pm\\ \text{ME} \quad\Rightarrow\quad 98,142857\\ \pm\\\ 9,2859.
  • Calculando os extremos:
\text{limite inferior}=98,142857-9,2859\approx 88,856998\approx 88,86\\ \text{segundos},
\text{limite superior}=98,142857+9,2859\approx 107,428716\approx 107,43\\ \text{segundos}.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo.
  • Conclusão prática: com 95\% de confiança podemos dizer que o tempo médio de exploração dos ratos Wister está entre aproximadamente 88,86 s e 107,43 s.
  • Excelente — você já consegue montar o intervalo passo a passo: média, desvio amostral, erro padrão, escolher t para n-1 e multiplicar para obter a margem. Vai bem — continue praticando com outros exemplos para ganhar rapidez na prova!

Resposta

\displaystyle [88,86\\ \text{segundos},\\\ 107,43\\ \text{segundos}]