2- Explique conceitualmente o teorema de transporte de Reynolds e o que ele representa entre sistema e volume de controle. Quais propriedades ele correlaciona. (2,0)

Passo 1

O enunciado pede uma explicação conceitual do Teorema de Transporte de Reynolds, que faz a ponte entre o ponto de vista de sistema (conjunto fixo de massa) e de volume de controle (região fixa ou móvel no espaço). Vamos precisar definir o que são sistemas e volumes de controle, entender as propriedades extensivas e intensivas, e mostrar como o teorema relaciona a taxa de variação de uma propriedade num sistema com a taxa de variação dentro de um volume de controle mais o fluxo através de sua superfície.

Passo 2

Um sistema é um conjunto de massa que se move com o fluido: suas fronteiras acompanham o escoamento e não trocam massa. Um volume de controle é uma região arbitrária do espaço (fixa ou móvel), limitada por uma superfície de controle, através da qual há entrada e saída de massa. O objetivo é escrever leis de conservação (de massa, momento, energia) usando o volume de controle, que normalmente é mais simples para cálculos práticos.

Passo 3

Cada grandeza que vamos conservar (por exemplo, massa, quantidade de movimento, energia) é uma propriedade extensiva B do sistema. Para aplicar o teorema, definimos a propriedade intensiva correspondente b, que é B por unidade de massa:
b = \frac{B}{m}.
Dessa forma, podemos integrar b sobre o volume de controle, ponderado pela densidade \rho, para recuperar a propriedade extensiva dentro do controle.

Passo 4

O Teorema de Transporte de Reynolds afirma que, para qualquer propriedade extensiva B do sistema que varia com o tempo, vale
\frac{dB_{\text{sys}}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{\text{CV}} \rho\,b\,dV \;+\; \int_{\text{CS}} \rho\,b\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA.
Aqui CV é o volume de controle, CS é a superfície de controle, \mathbf{v} é a velocidade do fluido e \mathbf{n} é o vetor normal saindo do volume.

Passo 5

Interpretando cada termo:
\bullet O lado esquerdo \tfrac{dB_{\text{sys}}}{dt} é a taxa de variação da propriedade B acompanhando o sistema.
\bullet O primeiro termo do lado direito é a taxa de variação local de B dentro do volume de controle.
\bullet O segundo termo é o fluxo convectivo de B atravessando a superfície de controle (positivo quando sai do volume).
Esse teorema correlaciona propriedades que obedecem a leis de conservação:
Massa ( B=m, b=1), resultando na equação da continuidade.
Quantidade de movimento ( B=\mathbf{P}, \mathbf{b}=\mathbf{v}), levando às equações de Navier–Stokes.
Energia ( B=E, b=e), dando lugar à equação de energia em termos de calor e trabalho.

Resposta

O Teorema de Transporte de Reynolds é a ferramenta que permite traduzir a variação temporal de uma propriedade extensiva B de um sistema (massa acompanhada) para termos de um volume de controle fixo ou móvel, decompondo essa variação em contribuição local (derivada parcial no volume) e convectiva (fluxo através da superfície). Ele correlaciona as grandeszas de conservação (massa, momento, energia) entre a visão de sistema e a de volume de controle, facilitando a aplicação prática das leis de conservação em dinâmica dos fluidos.

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