Explique o que é um conjunto indutivo. Com a sua explicação, você diria que o conjunto dos números inteiros é indutivo? E o conjunto dos números reais? O conjunto dos números irracionais pode ser indutivo?
Passo 1
O enunciado pede para entendermos o que é um conjunto indutivo e, com essa definição em mãos, verificar se cada um destes conjuntos é indutivo:
• o conjunto dos números inteiros ,
• o conjunto dos números reais ,
• o conjunto dos números irracionais .
• o conjunto dos números inteiros
• o conjunto dos números reais
• o conjunto dos números irracionais
Vamos precisar da definição de conjunto indutivo (tipo Dedekind) e então checar as duas propriedades em cada caso.
Passo 2
Definição de conjunto indutivo (seguindo Dedekind):
Um subconjunto é indutivo se e somente se satisfaça
Um subconjunto
-
. - sempre que
, então .
Intuitivamente, um conjunto indutivo contém o “elemento inicial” 1 e é fechado sob o “sucessor”
.
Passo 3
Verificando
:
-
— claro, pois é inteiro. - Se
, então — soma de inteiros é inteiro.
Logosatisfaz ambas as condições e é um conjunto indutivo.
Passo 4
Verificando
:
-
— é real. - Se
, então — soma de reais é real.
Portantotambém é indutivo.
Passo 5
Verificando o conjunto dos irracionais
:
-
, pois é racional. - (Apesar de, para
irracional, ser irracional, a primeira condição já falha.)
Logonão é indutivo.
Resposta
•
é indutivo.
• é indutivo.
• o conjunto dos irracionais não é indutivo.
•
• o conjunto dos irracionais não é indutivo.