Explique o que é um conjunto indutivo. Com a sua explicação, você diria que o conjunto dos números inteiros é indutivo? E o conjunto dos números reais? O conjunto dos números irracionais pode ser indutivo?

Passo 1

O enunciado pede para entendermos o que é um conjunto indutivo e, com essa definição em mãos, verificar se cada um destes conjuntos é indutivo:
• o conjunto dos números inteiros \mathbb{Z},
• o conjunto dos números reais \mathbb{R},
• o conjunto dos números irracionais \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
Vamos precisar da definição de conjunto indutivo (tipo Dedekind) e então checar as duas propriedades em cada caso.

Passo 2

Definição de conjunto indutivo (seguindo Dedekind):
Um subconjunto I\subseteq\mathbb{R} é indutivo se e somente se satisfaça
  1. \,1\in I.
  2. sempre que x\in I, então x+1\in I.
Intuitivamente, um conjunto indutivo contém o “elemento inicial” 1 e é fechado sob o “sucessor” x\mapsto x+1.

Passo 3

Verificando \mathbb{Z}:
  1. 1\in\mathbb{Z} — claro, pois 1 é inteiro.
  2. Se x\in\mathbb{Z}, então x+1\in\mathbb{Z} — soma de inteiros é inteiro.
    Logo \mathbb{Z} satisfaz ambas as condições e é um conjunto indutivo.

Passo 4

Verificando \mathbb{R}:
  1. 1\in\mathbb{R} 1 é real.
  2. Se x\in\mathbb{R}, então x+1\in\mathbb{R} — soma de reais é real.
    Portanto \mathbb{R} também é indutivo.

Passo 5

Verificando o conjunto dos irracionais \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}:
  1. 1\notin\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, pois 1 é racional.
  2. (Apesar de, para x irracional, x+1 ser irracional, a primeira condição já falha.)
    Logo \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} não é indutivo.

Resposta

\mathbb{Z} é indutivo.
\mathbb{R} é indutivo.
• o conjunto dos irracionais não é indutivo.

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