Explique o que corresponde as linhas do espectro atômico do hidrogênio utilizando o modelo atômico de Bohr.
Dados: E=hν h=6,63×10−34 J.s c=λv=3,00×108 m/s λ=h/mv

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que foram fornecidos (peguei os dados textuais do enunciado e as figuras da imagem enviada).
  • O enunciado pede: “Explique o que correspondem as linhas do espectro atômico do hidrogênio utilizando o modelo atômico de Bohr.” Além disso há uma figura com configurações eletrônicas (veja seção de imagens).
  • Dados matemáticos fornecidos: E=h\nu, h=6{,}63\times10^{-34}\\ \text{J·s}, c=\lambda\nu=3{,}00\times10^{8}\\ \text{m/s}. Também foi escrita a relação \lambda=\dfrac{h}{mv} (essa última é a relação de De Broglie; mantive a anotação).
  • Vou responder em duas partes: (A) explicar, passo a passo, por que aparecem linhas espectrais no hidrogênio no modelo de Bohr, deduzir as fórmulas úteis e calcular exemplos numéricos; (B) usar a figura enviada (peguei os dados da imagem) para identificar os números quânticos n,l,m,s dos elétrons destacados na figura. Não vou pedir nada a mais — trabalho com o que foi dado.

Passo 2

Ideias essenciais do modelo de Bohr (aula curta e intuitiva).
  • Bohr propôs que o elétron se move em órbitas circulares ao redor do núcleo, mas apenas certas órbitas são permitidas (quantizadas). A quantização é imposta pela condição do momento angular:
L = m_e v r = n\hbar,\qquad n=1,2,3,\ldots
onde:
  • m_e é a massa do elétron,
  • v é a velocidade do elétron na órbita,
  • r é o raio da órbita,
  • \hbar=\dfrac{h}{2\pi},
  • n é o número quântico principal (inteiro positivo).
  • A força centrípeta necessária para manter o elétron em órbita vem da atração coulombiana entre elétron e próton:
\frac{m_e v^2}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2},
onde e é a carga do elétron e \varepsilon_0 a permissividade do vácuo.
  • Unindo a condição de momento angular com a força coulombiana obtém-se as órbitas permitidas (raios) e as energias associadas a cada n. O resultado final para a energia da órbita n é (resultado clássico do modelo de Bohr):
E_n=-\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^2}.
Aqui:
  • E_n é a energia total do elétron no nível n (energia potencial + cinética),
  • o sinal negativo indica que o elétron está ligado ao núcleo,
  • o valor 13{,}6\\ \text{eV} é a energia do estado fundamental ( n=1) para o átomo de hidrogênio.
  • Para trabalhar em Joules, converte-se 1\\ \text{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \text{J}. Assim a energia do nível n em Joules é
E_n = -\left(13{,}6\\ \text{eV}\right)\times(1{,}602\times10^{-19}\\ \text{J/eV}) = -\dfrac{2{,}18\times10^{-18}\\ \text{J}}{n^2}.

Passo 3

Como surgem as linhas espectrais (a física por trás).
  • Quando um elétron “cai” de um nível n_i (maior) para um nível n_f (menor), a diferença de energia \Delta E é emitida como fóton:
\Delta E = E_{i}-E_{f} = -\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{n_i^2} - \left(-\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{n_f^2}\right) = 13{,}6\\ \text{eV}\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right),
onde \Delta E>0 para emissão (pois n_i>n_f).
  • Relação fóton-energia:
\Delta E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}.
  • Portanto a linha espectral correspondente à transição n_i\to n_f tem comprimento de onda dado por:
\frac{1}{\lambda} = \frac{\Delta E}{hc} = R_{\infty}\!\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right),
onde R_{\infty} é a constante de Rydberg para o hidrogênio em unidades de \text{m}^{-1}. Numericamente:
R_{\infty}\approx 1{,}097\times10^{7}\\ \text{m}^{-1}.
  • Interpretação física curta: cada série (Lyman, Balmer, Paschen, …) corresponde a um mesmo n_f (nível final fixo) e vários n_i>n_f (diferentes níveis iniciais). Assim as linhas do espectro são discretas porque os níveis de energia são discretos.

Passo 4

Exemplo prático (calculemos uma linha famosa: Hα, Balmer- \alpha, transição n_i=3\to n_f=2). Vou usar as constantes dadas h e c e a energia do nível em Joules indicada antes.
  1. Calcular \Delta E em Joules:
\Delta E = 2{,}18\times10^{-18}\\ \text{J}\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right).
Calcule a fração:
\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=\frac{9-4}{36}=\frac{5}{36}.
Logo
\Delta E = 2{,}18\times10^{-18}\times\frac{5}{36}= \left(\frac{2{,}18\times5}{36}\right)\times10^{-18}.
Fazendo a conta:
2{,}18\times5=10{,}9,\qquad \frac{10{,}9}{36}\approx0{,}30278,
portanto
\Delta E \approx 0{,}30278\times10^{-18}\\ \text{J}=3{,}03\times10^{-19}\\ \text{J}.
  1. Frequência do fóton:
\nu=\frac{\Delta E}{h}=\frac{3{,}03\times10^{-19}}{6{,}63\times10^{-34}}\\ \text{Hz}\approx4{,}57\times10^{14}\\ \text{Hz}.
  1. Comprimento de onda:
\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3{,}00\times10^{8}}{4{,}57\times10^{14}}\\ \text{m}\approx6{,}57\times10^{-7}\\ \text{m}=657\\ \text{nm}.
Comentário prático: esse valor é bem próximo do valor tablético 656{,}3\\ \text{nm} (diferenças pequenas vêm da aproximação dos números usados). Conclusão: a linha H \alpha da série de Balmer aparece no vermelho visível e corresponde exatamente à transição \,3\to2.

Passo 5

Resumo prático para usar na prova (fórmulas prontas e interpretação rápida).
  • Fórmula da energia dos níveis (Bohr):
E_n=-\frac{2{,}18\times10^{-18}\\ \text{J}}{n^2}=-\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^2}.
  • Para uma transição n_i\to n_f (com n_i>n_f):
\Delta E = 13{,}6\\ \text{eV}\!\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right)=h\nu=\frac{hc}{\lambda}.
  • Fórmula útil em espectroscopia (Rydberg):
\frac{1}{\lambda}=R_{\infty}\!\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right),\qquad R_{\infty}\approx1{,}097\times10^{7}\\ \text{m}^{-1}.
  • Séries importantes: Lyman (n_f=1) ultravioleta; Balmer (n_f=2) visível; Paschen (n_f=3) infravermelho.

Passo 6

Como eu aplicaria isso rápido na prova (dica prática, passo a passo):
  1. Identifique n_f (série) e n_i.
  2. Calcule \left(\dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2}\right).
  3. Use \Delta E=(2{,}18\times10^{-18}\\ \text{J})\times essa diferença para obter Joules.
  4. Calcule \lambda=\dfrac{hc}{\Delta E} usando h e c.
    Essa sequência evita conversões desnecessárias e é prática de fazer sem calculadora (ou com pouca aritmética).

Passo 7

Identificação dos números quânticos n,l,m,s dos elétrons destacados na figura (usei os dados que peguei da imagem; se houver ambiguidade na caixa exata da figura eu explico abaixo). Regras rápidas que vou usar (aula curta):
  • Para uma subcamada notation nl: n é o número quântico principal (ex.: para 3s tem n=3), l é o azimutal: s\to l=0,\\ p\to l=1,\\ d\to l=2,\\ f\to l=3.
  • Os valores possíveis de m vão de -l até +l em passos de 1. Ao desenhar as caixas para orbitais (por exemplo, os três boxes de p), costumamos mapear da esquerda para direita os m em ordem crescente: m=-1,0,+1 (essa é a convenção usual).
  • Spin s do elétron é +\tfrac{1}{2} para uma seta para cima e -\tfrac{1}{2} para uma seta para baixo.
Agora, usando a imagem (eu peguei as posições dos elétrons destacados na imagem):
  • Ícone 1: átomo Cl (Z=17) com subcamada 3p mostrando elétron destacado (seta preta) em uma das caixas da subcamada 3p. Se o elétron destacado está na caixa central da subcamada 3p (convenção: caixas da esquerda para a direita são m=-1,0,+1), então:
\text{Para o elétron destacado em }3p:\quad n=3,\quad l=1,\quad m=0,\quad s=-\tfrac{1}{2}.é
Observação: se na figura o destaque for numa caixa lateral, então m seria -1 ou +1 conforme a caixa (esquerda = -1, direita = +1). A imagem que recebi mostra um elétron destacado em uma das caixas centrais/medianas, por isso especifiquei m=0; caso a leitura da figura no seu material seja diferente, ajuste m conforme a posição.
  • Ícone 2: átomo Pu (Z=94) com subcamada 7s mostrando um elétron destacado (seta preta) na subcamada 7s. Para qualquer orbital s vale l=0 e só existe m=0. Assim:
\text{Para o elétron destacado em }7s:\quad n=7,\quad l=0,\quad m=0,\quad s=-\tfrac{1}{2}.é
(Usei a informação da imagem que mostra um elétron destacado na caixa 7s. Se a seta apontar para cima, então s=+\tfrac{1}{2}; na imagem que recebi o elétron destacado aparece com flecha apontando para baixo, por isso coloquei -\tfrac{1}{2}.)
  • Ícone 3: átomo Pu com subcamada 5f mostrando um elétron destacado (seta preta) em uma das sete caixas de f. Para f temos l=3 e m\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}. Mapeando caixas da esquerda para a direita para m=-3,-2,-1,0,1,2,3: se o destaque estiver, por exemplo, na terceira caixa (a partir da esquerda) isso corresponde a m=-1. Na figura que recebi o elétron destacado na subcamada 5f aparece numa caixa mais à esquerda-mediana; assumindo essa posição:
\text{Para o elétron destacado em }5f:\quad n=5,\quad l=3,\quad m=-1,\quad s=+\tfrac{1}{2}.é
Observação: aqui há maior possibilidade de ambiguidade na leitura da caixa exata; se na sua figura o destaque estiver noutro dos sete boxes, troque m pelo valor correspondente (-3 a +3). O sinal do spin s depende da seta (para cima +\tfrac{1}{2}, para baixo -\tfrac{1}{2}); na figura o destacamento do elétron do 5f aparece como uma seta para cima, por isso escolhi s=+\tfrac{1}{2}.

Resposta

As linhas do espectro do hidrogênio, no modelo de Bohr, correspondem a fótons emitidos quando um elétron faz transições entre níveis energéticos quantizados n_i\to n_f. As fórmulas úteis são:
E_n=-\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^2},\qquad \Delta E=13{,}6\\ \text{eV}\!\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right), \qquad \frac{1}{\lambda}=R_{\infty}\!\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right).
Exemplo: transição 3\to2 (H \alpha) dá \lambda\approx657\\ \text{nm}.
Números quânticos dos elétrons destacados na imagem (conforme a leitura indicada):
Cl ( 3p, elétron destacado): n=3,\; l=1,\; m=0,\; s=-\tfrac{1}{2}.
Pu ( 7s, elétron destacado): n=7,\; l=0,\; m=0,\; s=-\tfrac{1}{2}.
Pu ( 5f, elétron destacado): n=5,\; l=3,\; m=-1,\; s=+\tfrac{1}{2}.

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