Explique o que corresponde as linhas do espectro atômico do hidrogênio utilizando o modelo atômico de Bohr.
Dados: E=hν h=6,63×10−34 J.s c=λv=3,00×108 m/s λ=h/mv
Dados: E=hν h=6,63×10−34 J.s c=λv=3,00×108 m/s λ=h/mv
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que foram fornecidos (peguei os dados textuais do enunciado e as figuras da imagem enviada).
- O enunciado pede: “Explique o que correspondem as linhas do espectro atômico do hidrogênio utilizando o modelo atômico de Bohr.” Além disso há uma figura com configurações eletrônicas (veja seção de imagens).
- Dados matemáticos fornecidos:
, , . Também foi escrita a relação (essa última é a relação de De Broglie; mantive a anotação). - Vou responder em duas partes: (A) explicar, passo a passo, por que aparecem linhas espectrais no hidrogênio no modelo de Bohr, deduzir as fórmulas úteis e calcular exemplos numéricos; (B) usar a figura enviada (peguei os dados da imagem) para identificar os números quânticos
dos elétrons destacados na figura. Não vou pedir nada a mais — trabalho com o que foi dado.
Passo 2
Ideias essenciais do modelo de Bohr (aula curta e intuitiva).
- Bohr propôs que o elétron se move em órbitas circulares ao redor do núcleo, mas apenas certas órbitas são permitidas (quantizadas). A quantização é imposta pela condição do momento angular:
onde:
-
é a massa do elétron, -
é a velocidade do elétron na órbita, -
é o raio da órbita, -
, -
é o número quântico principal (inteiro positivo). -
A força centrípeta necessária para manter o elétron em órbita vem da atração coulombiana entre elétron e próton:
onde
é a carga do elétron e
a permissividade do vácuo.
- Unindo a condição de momento angular com a força coulombiana obtém-se as órbitas permitidas (raios) e as energias associadas a cada
. O resultado final para a energia da órbita é (resultado clássico do modelo de Bohr):
Aqui:
-
é a energia total do elétron no nível (energia potencial + cinética), -
o sinal negativo indica que o elétron está ligado ao núcleo,
-
o valor
é a energia do estado fundamental ( ) para o átomo de hidrogênio. -
Para trabalhar em Joules, converte-se
. Assim a energia do nível em Joules é
Passo 3
Como surgem as linhas espectrais (a física por trás).
- Quando um elétron “cai” de um nível
(maior) para um nível (menor), a diferença de energia é emitida como fóton:
onde
para emissão (pois
).
- Relação fóton-energia:
- Portanto a linha espectral correspondente à transição
tem comprimento de onda dado por:
onde
é a constante de Rydberg para o hidrogênio em unidades de
. Numericamente:
- Interpretação física curta: cada série (Lyman, Balmer, Paschen, …) corresponde a um mesmo
(nível final fixo) e vários (diferentes níveis iniciais). Assim as linhas do espectro são discretas porque os níveis de energia são discretos.
Passo 4
Exemplo prático (calculemos uma linha famosa: Hα, Balmer-
, transição
). Vou usar as constantes dadas
e
e a energia do nível em Joules indicada antes.
- Calcular
em Joules:
Calcule a fração:
Logo
Fazendo a conta:
portanto
- Frequência do fóton:
- Comprimento de onda:
Comentário prático: esse valor é bem próximo do valor tablético
(diferenças pequenas vêm da aproximação dos números usados). Conclusão: a linha H
da série de Balmer aparece no vermelho visível e corresponde exatamente à transição
.
Passo 5
Resumo prático para usar na prova (fórmulas prontas e interpretação rápida).
- Fórmula da energia dos níveis (Bohr):
- Para uma transição
(com ):
- Fórmula útil em espectroscopia (Rydberg):
- Séries importantes: Lyman
ultravioleta; Balmer visível; Paschen infravermelho.
Passo 6
Como eu aplicaria isso rápido na prova (dica prática, passo a passo):
- Identifique
(série) e . - Calcule
. - Use
essa diferença para obter Joules. - Calcule
usando e .
Essa sequência evita conversões desnecessárias e é prática de fazer sem calculadora (ou com pouca aritmética).
Passo 7
Identificação dos números quânticos
dos elétrons destacados na figura (usei os dados que peguei da imagem; se houver ambiguidade na caixa exata da figura eu explico abaixo). Regras rápidas que vou usar (aula curta):
- Para uma subcamada notation
: é o número quântico principal (ex.: para tem ), é o azimutal: . - Os valores possíveis de
vão de até em passos de 1. Ao desenhar as caixas para orbitais (por exemplo, os três boxes de ), costumamos mapear da esquerda para direita os em ordem crescente: (essa é a convenção usual). - Spin
do elétron é para uma seta para cima e para uma seta para baixo.
Agora, usando a imagem (eu peguei as posições dos elétrons destacados na imagem):
- Ícone 1: átomo Cl
com subcamada mostrando elétron destacado (seta preta) em uma das caixas da subcamada . Se o elétron destacado está na caixa central da subcamada (convenção: caixas da esquerda para a direita são ), então:
Observação: se na figura o destaque for numa caixa lateral, então
seria
ou
conforme a caixa (esquerda =
, direita =
). A imagem que recebi mostra um elétron destacado em uma das caixas centrais/medianas, por isso especifiquei
; caso a leitura da figura no seu material seja diferente, ajuste
conforme a posição.
- Ícone 2: átomo Pu
com subcamada mostrando um elétron destacado (seta preta) na subcamada . Para qualquer orbital vale e só existe . Assim:
(Usei a informação da imagem que mostra um elétron destacado na caixa
. Se a seta apontar para cima, então
; na imagem que recebi o elétron destacado aparece com flecha apontando para baixo, por isso coloquei
.)
- Ícone 3: átomo Pu com subcamada
mostrando um elétron destacado (seta preta) em uma das sete caixas de . Para temos e . Mapeando caixas da esquerda para a direita para : se o destaque estiver, por exemplo, na terceira caixa (a partir da esquerda) isso corresponde a . Na figura que recebi o elétron destacado na subcamada aparece numa caixa mais à esquerda-mediana; assumindo essa posição:
Observação: aqui há maior possibilidade de ambiguidade na leitura da caixa exata; se na sua figura o destaque estiver noutro dos sete boxes, troque
pelo valor correspondente
a
. O sinal do spin
depende da seta (para cima
, para baixo
); na figura o destacamento do elétron do
aparece como uma seta para cima, por isso escolhi
.
Resposta
As linhas do espectro do hidrogênio, no modelo de Bohr, correspondem a fótons emitidos quando um elétron faz transições entre níveis energéticos quantizados
. As fórmulas úteis são:
Exemplo: transição
(H
) dá
.
Números quânticos dos elétrons destacados na imagem (conforme a leitura indicada):
Cl ( , elétron destacado):
.
Cl (
Pu (
, elétron destacado):
.
Pu (
, elétron destacado):
.