- Explique com critérios matemáticos (e não físicos) por que obtivemos funções exponenciais ao separarmos a equação do calor, ao passo que isso não aconteceu para a equação da onda.
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar, com critérios matemáticos (não físicos), por que ao separar variáveis na equação do calor apareciam funções exponenciais no tempo enquanto na equação da onda isso não acontece.
Informações relevantes que vou usar (assumo o enunciado padrão): a equação do calor unidimensional é e a equação da onda unidimensional é
. Vou considerar condições de contorno usuais tipo Dirichlet
(se houver outra condição, o argumento muda só nos detalhes da v.a., mas a ideia permanece). A técnica é separação de variáveis, i.e. procurar soluções da forma
.
Informações relevantes que vou usar (assumo o enunciado padrão): a equação do calor unidimensional é
Passo 2
Separei a equação do calor: substituindo
em
dá
Dividindo por
(que não é zero para um modo não trivial) obtemos
Como o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, cada lado é igual a uma constante que chamo convenientemente de
. Assim temos dois ODEs separados:
e
Obs.: escolhi o sinal
porque a equação espacial fica na forma clássica de Sturm–Liouville
, cujas propriedades espectrais são bem conhecidas.
Passo 3
Propriedade matemática importante (autovalores positivos): com condições de contorno tipo Dirichlet
o problema
possui apenas autovalores
e autovetores não triviais. Uma prova curta e clássica: para uma função
não trivial que satisfaz a equação, multiplico por
e integro em
Integrando por partes o primeiro termo e usando
obtemos
ou seja
Como o numerador é não-negativo e estritamente positivo para
não trivial, segue
. Portanto, os valores permitidos de
são positivos.
Passo 4
Agora volto ao ODE temporal do calor:
Essa é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem cujo método padrão dá solução exponencial:
com
constante. Como
e
, o expoente
é real e negativo, então cada modo temporal é uma função exponencial real. É por isso, puramente matematicamente, que ao separar a equação do calor surge
.
Passo 5
Faço o mesmo para a equação da onda: supondo
em
obtemos
Dividindo por
e separando, tomo novamente
de modo que o problema espacial é o mesmo
logo novamente
. A equação temporal agora é de segunda ordem:
Para
essa é a equação do oscilador harmônico simples; as soluções gerais são combinações de seno e cosseno:
Essas funções são trigonométricas (oscilações), não exponenciais reais.
Passo 6
Interpretação clara e crítica matemática: a diferença essencial é dupla e puramente matemática:
- ordem temporal da ODE separada: na equação do calor o ODE em
é de primeira ordem ( ), enquanto na equação da onda é de segunda ordem ( ). Equações de primeira ordem homogêneas têm soluções exponenciais; equações de segunda ordem com coeficiente positivo à frente de têm soluções oscilatórias (seno/cosseno). - sinal do termo
: o problema espacial com condições típicas (p.ex. Dirichlet) força . Para o calor isso dá expoentes reais negativos em . Para a onda isso dá um coeficiente positivo em , o que produz funções trigonométricas. Exponenciais reais para a onda aconteceriam se (pois então teria soluções exponenciais), mas é excluído pelo problema espacial com BC usuais. O caso dá soluções polinomiais/constantes no tempo (caso degenerado), mas para Dirichlet não-trivial isso também é descartado.
Passo 7
Versão compacta e generalizável (útil na prova): se escrevemos simbolicamente um PDE linear como
onde
é um operador espacial auto-adjunto positivo (por exemplo
com BC razoáveis), então as soluções por separação usam os autovalores
de
e geram modos temporais
para o primeiro caso e
para o segundo. Essa é a explicação matemática e geral: primeira ordem no tempo → exponenciais; segunda ordem no tempo → oscilações, com o sinal determinado pelo espectro de
.
Resposta
Porque a separação de variáveis reduz a parte temporal da equação do calor a uma ODE de primeira ordem
cuja solução é exponencial
, enquanto na equação da onda a parte temporal é uma ODE de segunda ordem
cuja solução, dado que o problema espacial força
, é trigonométrica
; assim, a ordem da derivada temporal e o sinal (positivo) dos autovalores do problema espacial explicam matematicamente a presença de exponenciais no calor e de funções sen/cos na onda.