1. Explique com critérios matemáticos (e não físicos) por que obtivemos funções exponenciais ao separarmos a equação do calor, ao passo que isso não aconteceu para a equação da onda.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar, com critérios matemáticos (não físicos), por que ao separar variáveis na equação do calor apareciam funções exponenciais no tempo enquanto na equação da onda isso não acontece.
Informações relevantes que vou usar (assumo o enunciado padrão): a equação do calor unidimensional é u_t = k\,u_{xx} e a equação da onda unidimensional é u_{tt}=c^2\,u_{xx}. Vou considerar condições de contorno usuais tipo Dirichlet u(0,t)=u(L,t)=0 (se houver outra condição, o argumento muda só nos detalhes da v.a., mas a ideia permanece). A técnica é separação de variáveis, i.e. procurar soluções da forma u(x,t)=X(x)\,T(t).

Passo 2

Separei a equação do calor: substituindo u(x,t)=X(x)T(t) em u_t=k\,u_{xx}
X(x)\,T'(t)=k\,X''(x)\,T(t).
Dividindo por k\,X(x)\,T(t) (que não é zero para um modo não trivial) obtemos
\frac{T'(t)}{k\,T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}.
Como o lado esquerdo depende só de t e o direito só de x, cada lado é igual a uma constante que chamo convenientemente de -\lambda. Assim temos dois ODEs separados:
X''(x)+\lambda X(x)=0
e
T'(t)+k\lambda\,T(t)=0.
Obs.: escolhi o sinal -\lambda porque a equação espacial fica na forma clássica de Sturm–Liouville X''+\lambda X=0, cujas propriedades espectrais são bem conhecidas.

Passo 3

Propriedade matemática importante (autovalores positivos): com condições de contorno tipo Dirichlet X(0)=X(L)=0 o problema
X''+\lambda X=0,\qquad X(0)=X(L)=0
possui apenas autovalores \lambda_n>0 e autovetores não triviais. Uma prova curta e clássica: para uma função X não trivial que satisfaz a equação, multiplico por X e integro em [0,L]
\int_0^L X''(x)\,X(x)\,dx + \lambda\int_0^L X(x)^2\,dx=0.
Integrando por partes o primeiro termo e usando X(0)=X(L)=0 obtemos
-\int_0^L X'(x)^2\,dx + \lambda\int_0^L X(x)^2\,dx=0,
ou seja
\lambda=\frac{\int_0^L X'(x)^2\,dx}{\int_0^L X(x)^2\,dx}.
Como o numerador é não-negativo e estritamente positivo para X não trivial, segue \lambda>0. Portanto, os valores permitidos de \lambda são positivos.

Passo 4

Agora volto ao ODE temporal do calor:
T'(t)+k\lambda\,T(t)=0.
Essa é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem cujo método padrão dá solução exponencial:
T(t)=C\,e^{-k\lambda t},
com C constante. Como \lambda>0 e k>0, o expoente -k\lambda é real e negativo, então cada modo temporal é uma função exponencial real. É por isso, puramente matematicamente, que ao separar a equação do calor surge e^{-k\lambda t}.

Passo 5

Faço o mesmo para a equação da onda: supondo u(x,t)=X(x)T(t) em u_{tt}=c^2 u_{xx} obtemos
X(x)\,T''(t)=c^2 X''(x)\,T(t).
Dividindo por c^2 X T e separando, tomo novamente
\frac{T''(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
de modo que o problema espacial é o mesmo
X''+\lambda X=0,\qquad X(0)=X(L)=0,
logo novamente \lambda=\lambda_n>0. A equação temporal agora é de segunda ordem:
T''(t)+c^2\lambda\,T(t)=0.
Para \lambda>0 essa é a equação do oscilador harmônico simples; as soluções gerais são combinações de seno e cosseno:
T(t)=A\cos\big(c\sqrt{\lambda}\,t\big)+B\sin\big(c\sqrt{\lambda}\,t\big).
Essas funções são trigonométricas (oscilações), não exponenciais reais.

Passo 6

Interpretação clara e crítica matemática: a diferença essencial é dupla e puramente matemática:
  1. ordem temporal da ODE separada: na equação do calor o ODE em t é de primeira ordem ( T'), enquanto na equação da onda é de segunda ordem ( T''). Equações de primeira ordem homogêneas têm soluções exponenciais; equações de segunda ordem com coeficiente positivo à frente de T têm soluções oscilatórias (seno/cosseno).
  2. sinal do termo \lambda: o problema espacial com condições típicas (p.ex. Dirichlet) força \lambda>0. Para o calor isso dá expoentes reais negativos em e^{-k\lambda t}. Para a onda isso dá um coeficiente positivo em T''+c^2\lambda T=0, o que produz funções trigonométricas. Exponenciais reais para a onda aconteceriam se \lambda<0 (pois então T''- (\text{positivo})\,T=0 teria soluções exponenciais), mas \lambda<0 é excluído pelo problema espacial com BC usuais. O caso \lambda=0 dá soluções polinomiais/constantes no tempo (caso degenerado), mas para Dirichlet não-trivial isso também é descartado.

Passo 7

Versão compacta e generalizável (útil na prova): se escrevemos simbolicamente um PDE linear como
\text{equação do calor:}\quad u_t = -A uçã
\text{equação da onda:}\quad u_{tt} = -A u,çã
onde A é um operador espacial auto-adjunto positivo (por exemplo A=-k\,\partial_{xx} com BC razoáveis), então as soluções por separação usam os autovalores \lambda\ge0 de A e geram modos temporais e^{-\lambda t} para o primeiro caso e \cos(\sqrt{\lambda}t),\sin(\sqrt{\lambda}t) para o segundo. Essa é a explicação matemática e geral: primeira ordem no tempo → exponenciais; segunda ordem no tempo → oscilações, com o sinal determinado pelo espectro de A.

Resposta

Porque a separação de variáveis reduz a parte temporal da equação do calor a uma ODE de primeira ordem T'+k\lambda T=0 cuja solução é exponencial T(t)=Ce^{-k\lambda t}, enquanto na equação da onda a parte temporal é uma ODE de segunda ordem T''+c^2\lambda T=0 cuja solução, dado que o problema espacial força \lambda>0, é trigonométrica T(t)=A\cos(c\sqrt{\lambda}t)+B\sin(c\sqrt{\lambda}t); assim, a ordem da derivada temporal e o sinal (positivo) dos autovalores do problema espacial explicam matematicamente a presença de exponenciais no calor e de funções sen/cos na onda.

Exercícios relacionados