Explique como o ensemble grande canônico trata flutuações no número de partículas.
Passo 1
O enunciado pergunta como o ensemble grande canônico trata as flutuações no número de partículas. O conteúdo aqui é mecânica estatística, especificamente o ensemble grande canônico, que descreve sistemas em contato com um reservatório de energia e partículas, controlados por temperatura
, volume
e potencial químico
. Para responder, vamos precisar da função de partição grande canônica e das fórmulas para valor médio e variância do número de partículas.
Passo 2
No ensemble grande canônico, cada microestado com
partículas e energia
tem probabilidade proporcional a
onde
. Esse fator inclui trocas de energia (via
) e de partículas (via
) com o reservatório.
Passo 3
A função de partição grande canônica é definida por
sendo
a partição canônica para
partículas. Esse somatório incorpora todos os possíveis números de partículas.
Passo 4
O valor médio do número de partículas vem de
Intuitivamente, variações em
mudam o peso dado a cada
, e essa derivada capta a resposta em
.
Passo 5
Para as flutuações, definimos
. A variância é
Usando propriedades de derivadas, chega-se também a
mostrando que a intuição termodinâmica (“susceptibilidade” à variação de
) está ligada às flutuações.
Passo 6
No limite termodinâmico (
), a razão entre o desvio padrão e a média comporta-se como
Isso significa que, em sistemas macroscópicos, as flutuações relativas no número de partículas tornam-se desprezíveis, recuperando o comportamento quase determinístico.
Passo 7
Em resumo, o ensemble grande canônico trata as flutuações de
incluindo-as naturalmente na definição da função de partição
. A média e a variância de
são extraídas de derivadas de
em relação a
, e mostra-se que, embora existam flutuações, elas são pequenas em sistemas grandes.
Resposta
No ensemble grande canônico o número de partículas não é fixo, mas flutua. A função de partição
gera a média
e a variância
Em sistemas macroscópicos, as flutuações relativas caem como
, tornando-as negligenciáveis.