Explique como o ensemble grande canônico trata flutuações no número de partículas.

Passo 1

O enunciado pergunta como o ensemble grande canônico trata as flutuações no número de partículas. O conteúdo aqui é mecânica estatística, especificamente o ensemble grande canônico, que descreve sistemas em contato com um reservatório de energia e partículas, controlados por temperatura T, volume V e potencial químico \mu. Para responder, vamos precisar da função de partição grande canônica e das fórmulas para valor médio e variância do número de partículas.

Passo 2

No ensemble grande canônico, cada microestado com N partículas e energia E tem probabilidade proporcional a
e^{\beta(\mu N - E)},
onde \beta = 1/(k_B T). Esse fator inclui trocas de energia (via E) e de partículas (via \mu N) com o reservatório.

Passo 3

A função de partição grande canônica é definida por
\Xi(T,V,\mu) \;=\;\sum_{N=0}^{\infty} e^{\beta\mu N}\,Z_N(T,V),
sendo Z_N(T,V) a partição canônica para N partículas. Esse somatório incorpora todos os possíveis números de partículas.

Passo 4

O valor médio do número de partículas vem de
\langle N\rangle \;=\;\frac{1}{\beta}\,\frac{\partial \ln \Xi}{\partial \mu}.
Intuitivamente, variações em \mu mudam o peso dado a cada N, e essa derivada capta a resposta em \langle N\rangle.

Passo 5

Para as flutuações, definimos \Delta N = N - \langle N\rangle. A variância é
\langle(\Delta N)^2\rangle \;=\;\langle N^2\rangle - \langle N\rangle^2 \;=\;\frac{1}{\beta^2}\,\frac{\partial^2 \ln \Xi}{\partial \mu^2}.
Usando propriedades de derivadas, chega-se também a
\langle(\Delta N)^2\rangle \;=\;k_B T\;\frac{\partial \langle N\rangle}{\partial \mu},
mostrando que a intuição termodinâmica (“susceptibilidade” à variação de \mu) está ligada às flutuações.

Passo 6

No limite termodinâmico ( \langle N\rangle\to\infty), a razão entre o desvio padrão e a média comporta-se como
\frac{\sqrt{\langle(\Delta N)^2\rangle}}{\langle N\rangle}\sim\frac{1}{\sqrt{\langle N\rangle}}.
Isso significa que, em sistemas macroscópicos, as flutuações relativas no número de partículas tornam-se desprezíveis, recuperando o comportamento quase determinístico.

Passo 7

Em resumo, o ensemble grande canônico trata as flutuações de N incluindo-as naturalmente na definição da função de partição \Xi. A média e a variância de N são extraídas de derivadas de \ln \Xi em relação a \mu, e mostra-se que, embora existam flutuações, elas são pequenas em sistemas grandes.

Resposta

No ensemble grande canônico o número de partículas não é fixo, mas flutua. A função de partição
\Xi=\sum_{N=0}^\infty e^{\beta\mu N}Z_N
gera a média
\langle N\rangle=\frac{1}{\beta}\,\frac{\partial\ln\Xi}{\partial\mu}
e a variância
\langle(\Delta N)^2\rangle=\frac{1}{\beta^2}\,\frac{\partial^2\ln\Xi}{\partial\mu^2} =k_BT\,\frac{\partial\langle N\rangle}{\partial\mu}.
Em sistemas macroscópicos, as flutuações relativas caem como 1/\sqrt{\langle N\rangle}, tornando-as negligenciáveis.

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