Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização
da função naquele ponto.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar por que a função
é diferenciável no ponto . - Encontrar a linearização
de naquele ponto.
As informações dadas são:
- A função é
. - O ponto onde devemos analisar e linearizar é
.
Passo 2
O que significa “diferenciável” aqui (intuição e ferramenta prática).
- Intuitivamente, uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto quando, perto desse ponto, ela pode ser bem aproximada por um plano (uma função linear). Esse plano é a linearização.
- Uma condição prática muito usada: se as derivadas parciais de
existem numa vizinhança de e são contínuas em , então é diferenciável em . Vou usar essa condição porque é direta de aplicar e evita trabalhar com a definição epsilon-delta completa. - Para construir a linearização usamos a fórmula padrão (a “reta tangente” em 2D):
onde
é o ponto de tangência (aqui
), e
são as derivadas parciais.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Vou explicar passo a passo as regras usadas.
- Escrevemos
com . - Regra da cadeia: se
então
- Derivadas de
:
(Explicação rápida: para
, derivando em relação a
trata-se de multiplicar por
; em relação a
usamos a regra do quociente ou regra do produto com potência.)
- Agora as derivadas parciais de
:
(Expliquei: o
inicial em
dá derivada
em relação a
; a segunda parcela vem da cadeia.)
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais e
no ponto
.
- Primeiro o valor da função:
- Agora as derivadas parciais em
:
Passo 5
Mostrar por que isso garante diferenciabilidade em
.
- As expressões de
e são compostas por , funções racionais em (como e ) e operações somas e produtos. Essas funções são contínuas em qualquer ponto onde . - Como
tem coordenada , existe uma pequena vizinhança de onde todas essas expressões são bem definidas e contínuas. Logo e existem nessa vizinhança e são contínuas em . - Pela condição prática citada no Passo 2,
é diferenciável em .
Passo 6
Construir a linearização usando a fórmula e os valores obtidos.
- A fórmula da linearização em
é
- Substituindo
, e :
- Simplificando:
Resposta
A função é diferenciável em
porque as derivadas parciais existem numa vizinhança de
e são contínuas em
.