Explique por que a função f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} é descontínua no número dado a.
(b)
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^{2}}, & \text { se } \quad x \neq 0, \\\ 1, & \text { se } \quad x=0 .\end{array} \quad a=0\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x^{2}}, & x\neq 0,\\[6pt] 1, & x=0, \end{cases}
e pede para explicar por que ela é descontínua em a=0. O conteúdo necessário é o conceito de continuidade num ponto e o cálculo de limite.]

Passo 2

Uma função f é contínua em x=a se, e somente se,
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Aqui temos f(0)=1, pois é o valor atribuído no próprio ponto.

Passo 3

Para ver o comportamento da função ao redor de 0, calculamos
\lim_{x\to 0}f(x) =\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}.
Como x^{2} fica muito pequeno quando x\to 0, o quociente \tfrac{1}{x^{2}} cresce sem limite. Logo,
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty,
ou seja, o limite não existe no sentido de número real finito.

Passo 4

Como \lim_{x\to 0}f(x)=+\infty não é igual a f(0)=1, a condição de continuidade falha em x=0. Portanto, f é descontínua em 0.

Resposta

A função é descontínua em 0 porque
\lim_{x\to 0}f(x)=+\infty\neq f(0)=1.

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