Explique o método do sulfito e o dinâmico (sem e com o microorganismo) de determinação do KLa. Represente graficamente e matematicamente essa determinação.

Passo 1

O enunciado pede a determinação do coeficiente de transferência de oxigênio K_La por dois métodos: o químico (método do sulfito) e o dinâmico (com e sem microrganismos). O conteúdo envolve balanço de massa de oxigênio dissolvido, cinética de consumo de sulfito e integração de equações diferenciais para O_2. Para resolver, precisaremos da equação geral de transferência de massa
\frac{dC}{dt}=K_La\,(C^*-C)-r_{\text{consumo}}
e dos passos de integração ou uso de taxas químicas conhecidas.

Passo 2

Método do sulfito (sem microrganismos)
A reação principal é
\mathrm{2\,SO_3^{2-}} + \mathrm{O_2}\longrightarrow 2\,\mathrm{SO_4^{2-}},
catalisada por íons Co ^{2+}. Como todo oxigênio transferido é consumido quimicamente, a concentração de O_2 permanece praticamente nula ( C\approx0), de modo que a taxa de transferência é
r_{O_2}=K_La\,(C^*-0)=K_La\,C^*.
Pela estequiometria, cada mol de O_2 gera 2 mols de \mathrm{SO_4^{2-}}, então medindo a velocidade de formação de sulfato obtemos
K_La=\frac{1}{C^*}\,\frac{d[\mathrm{SO_4^{2-}}]}{dt}.
Gráfico: ao plotar [\mathrm{SO_4^{2-}}] em função do tempo t, obtém-se uma reta cuja inclinação iguala \displaystyle\frac{d[\mathrm{SO_4^{2-}}]}{dt}.

Passo 3

Método dinâmico sem microrganismos
Nesse caso não há consumo químico nem biológico ( r_{\text{consumo}}=0) e partimos de uma concentração inicial C_0. A equação é
\frac{dC}{dt}=K_La\,(C^*-C).
Separando e integrando de t=0 (com C=C_0) a t (com C=C_t) resulta
\ln\bigl(C^*-C_t\bigr)=-K_La\,t+\ln\bigl(C^*-C_0\bigr).
Gráficos típicos:
  1. Curva de C versus t, mostranto subida assintótica até C^*.
  2. Plot de \ln(C^*-C_t) versus t, que dá uma reta de inclinação -K_La.

Passo 4

Método dinâmico com microrganismos
Aqui o oxigênio é consumido pela biomassa a uma taxa OUR (oxygen uptake rate), presumida constante num curto intervalo. O balanço torna-se
\frac{dC}{dt}=K_La\,(C^*-C)-\mathrm{OUR}.
Rearranjando,
\frac{dC}{dt}+\mathrm{OUR}=K_La\,(C^*-C).
Em regime dinâmico, plotando \frac{dC}{dt} em função de (C^*-C) obtém-se uma reta cuja inclinação é K_La e o intercepto vertical é -\mathrm{OUR}. Alternativamente, em regime pseudo-estacionário ( dC/dt=0)
\mathrm{OUR}=K_La\,(C^*-C_s),
onde C_s é a concentração estável de O_2.

Resposta

Para o método do sulfito:
K_La=\frac{1}{C^*}\,\frac{d[\mathrm{SO_4^{2-}}]}{dt}.
Para o método dinâmico sem microrganismos:
\ln\bigl(C^*-C_t\bigr)=-K_La\,t+\ln\bigl(C^*-C_0\bigr).
Para o método dinâmico com microrganismos:
\frac{dC}{dt}=K_La\,(C^*-C)-\mathrm{OUR},
onde em um gráfico de \tfrac{dC}{dt} versus (C^*-C) a inclinação é K_La e o intercepto é -\mathrm{OUR}.

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