Explique porque a energia de um capacitor deve ser U=Q^2 /(2 C) e mostre que esse resultado é o mesmo obtido integrado a densidade de energia u=epsilon0 E^2 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar por que a energia armazenada em um capacitor é dada por e também mostrar que esse resultado é o mesmo que obtemos ao integrar a densidade de energia . Estamos lidando com conceitos de eletricidade básica, mais especificamente com capacitância e energia armazenada em campos elétricos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia é armazenada em um capacitor e como relacionar isso à densidade de energia elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um capacitor. Um capacitor é um dispositivo que armazena carga elétrica. Ele é composto por duas placas metálicas separadas por um material isolante. Quando uma carga é armazenada em um capacitor com capacitância , a relação básica é , onde é a diferença de potencial elétrico entre as placas.

Passo 3

A energia armazenada em um capacitor pode ser pensada como o trabalho necessário para montar as cargas nas placas contra a força elétrica. Para calcular esse trabalho, podemos integrar a pequena quantidade de trabalho dW = V cdot dq necessária para adicionar uma carga dW = qC cdot dq :
Mas como , substituímos na equação:

Passo 4

Agora, para encontrar a energia total U = integral0^Q qC , dq , integramos U = 1C integral0^Q q , dq = 1C [ q^22 ]0^Q = Q^22C de até :
Resolvendo essa integral:
Então, mostramos que .

Passo 5

Agora, vamos conectar isso com a densidade de energia elétrica. A densidade de energia u = epsilon0 E^22 em um campo elétrico é dada por:
Onde é a permissividade do vácuo e é o campo elétrico. Para encontrar a energia total armazenada no capacitor, precisamos integrar essa densidade de energia sobre o volume entre as placas.

Passo 6

Em um capacitor plano, o campo elétrico E = Qepsilon0 A é uniforme e está relacionado à carga e à capacitância. Sabemos que , onde é a densidade de carga superficial e é a área das placas. Então,

Passo 7

Substituindo u = epsilon02 ( Qepsilon0 A )^2 = Q^22 epsilon0 A^2 cdot epsilon0 = Q^22 A^2 na expressão da densidade de energia:

Passo 8

Para encontrar a energia total, integramos U = u cdot A cdot d = Q^22 A^2 cdot A cdot d = Q^2 d2 A sobre o volume entre as placas. O volume U = Q^22 A cdot epsilon0 AC = Q^22C de um capacitor plano é , onde é a distância entre as placas. Então,
Sabendo que a capacitância de um capacitor plano é , podemos substituir na expressão de :

Resposta

Portanto, mostramos que a energia armazenada em um capacitor é tanto pela integração do trabalho necessário para carregar o capacitor quanto pela integração da densidade de energia elétrica.

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