Explique porque a energia de um capacitor deve ser
e mostre que esse resultado é o mesmo obtido integrado a densidade de energia
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar por que a energia armazenada em um capacitor é dada por
e também mostrar que esse resultado é o mesmo que obtemos ao integrar a densidade de energia
. Estamos lidando com conceitos de eletricidade básica, mais especificamente com capacitância e energia armazenada em campos elétricos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia é armazenada em um capacitor e como relacionar isso à densidade de energia elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um capacitor. Um capacitor é um dispositivo que armazena carga elétrica. Ele é composto por duas placas metálicas separadas por um material isolante. Quando uma carga
é armazenada em um capacitor com capacitância
, a relação básica é
, onde
é a diferença de potencial elétrico entre as placas.
Passo 3
A energia armazenada em um capacitor pode ser pensada como o trabalho necessário para montar as cargas nas placas contra a força elétrica. Para calcular esse trabalho, podemos integrar a pequena quantidade de trabalho
necessária para adicionar uma carga
:
Mas como
, substituímos na equação:
Passo 4
Agora, para encontrar a energia total
, integramos
de
até
:
Resolvendo essa integral:
Então, mostramos que
.
Passo 5
Agora, vamos conectar isso com a densidade de energia elétrica. A densidade de energia
em um campo elétrico é dada por:
Onde
é a permissividade do vácuo e
é o campo elétrico. Para encontrar a energia total armazenada no capacitor, precisamos integrar essa densidade de energia sobre o volume entre as placas.
Passo 6
Em um capacitor plano, o campo elétrico
é uniforme e está relacionado à carga e à capacitância. Sabemos que
, onde
é a densidade de carga superficial e
é a área das placas. Então,
Passo 7
Substituindo
na expressão da densidade de energia:
Passo 8
Para encontrar a energia total, integramos
sobre o volume entre as placas. O volume
de um capacitor plano é
, onde
é a distância entre as placas. Então,
Sabendo que a capacitância
de um capacitor plano é
, podemos substituir
na expressão de
:
Resposta
Portanto, mostramos que a energia armazenada em um capacitor é
tanto pela integração do trabalho necessário para carregar o capacitor quanto pela integração da densidade de energia elétrica.