Explique a relação entre a lei de Darcy e Número de Reynolds.
Passo 1
Beleza, então a questão tá pedindo pra gente mostrar como a famosa lei de Darcy e o número de Reynolds “conversam” quando a gente fala de escoamento em meios porosos. O conteúdo aqui é Mecânica dos Fluidos em meios porosos, e a gente vai precisar:
- Saber o que é a lei de Darcy (relação entre gradiente de pressão e velocidade de escoamento).
- Entender o número de Reynolds (que compara força inercial e viscosa).
- Ver como o valor de Reynolds diz se a lei de Darcy vale certinho ou não.
Passo 2
Antes de tudo, lembra da lei de Darcy? Ela diz que, pra um fluido passando por um meio poroso, a velocidade média filtrante
é proporcional ao gradiente de pressão
:
Onde:
• = permeabilidade do meio poroso (m²)
• = viscosidade do fluido (Pa·s)
• = variação de pressão por unidade de comprimento (Pa/m)
•
•
•
Essa lei foi obtida experimentalmente e só vale quando o escoamento tá bem tranquilo, ou seja, dominado por forças viscosas.
Passo 3
Agora, o número de Reynolds
serve pra gente saber se o escoamento é laminar (viscoso) ou turbulento (inercial). Em meio poroso, a gente costuma definir um Reynolds característico usando o diâmetro médio
dos grãos:
onde
é a densidade do fluido.
- Se
, as forças viscosas dominam (escoamento laminar). - Se
cresce, as forças de inércia passam a importar e o escoamento deixa de ser puramente linear.
Passo 4
A relação chave: a lei de Darcy só “funciona” (fica certinha, linear) quando
tá pequeno.
• Para –10 (depende do material), a pressão cai linearmente com a velocidade e Darcy vale.
• Quando aumenta além desse patamar, aparecem termos não-lineares (inércia). Aí entra a correção de Forchheimer:
• Para
• Quando
Em que
é um fator relacionado à geometria do meio. Esse segundo termo
representa a contribuição inercial que não existe na lei original de Darcy.
Resposta
A lei de Darcy é válida quando o escoamento em meio poroso é laminar, ou seja, para números de Reynolds pequenos (
–10), pois aí as forças viscosas dominam e a relação entre gradiente de pressão e velocidade é linear. Para
maiores, surgem efeitos inerciais que obrigam a corrigir Darcy (por exemplo com a equação de Forchheimer), mostrando que Reynolds controla exatamente o limite de validade da lei de Darcy.