Explique a relação entre a lei de Darcy e Número de Reynolds.

Passo 1

Beleza, então a questão tá pedindo pra gente mostrar como a famosa lei de Darcy e o número de Reynolds “conversam” quando a gente fala de escoamento em meios porosos. O conteúdo aqui é Mecânica dos Fluidos em meios porosos, e a gente vai precisar:
  • Saber o que é a lei de Darcy (relação entre gradiente de pressão e velocidade de escoamento).
  • Entender o número de Reynolds (que compara força inercial e viscosa).
  • Ver como o valor de Reynolds diz se a lei de Darcy vale certinho ou não.

Passo 2

Antes de tudo, lembra da lei de Darcy? Ela diz que, pra um fluido passando por um meio poroso, a velocidade média filtrante v = -kmu ,nabla p é proporcional ao gradiente de pressão :
Onde:
= permeabilidade do meio poroso (m²)
= viscosidade do fluido (Pa·s)
= variação de pressão por unidade de comprimento (Pa/m)
Essa lei foi obtida experimentalmente e só vale quando o escoamento tá bem tranquilo, ou seja, dominado por forças viscosas.

Passo 3

Agora, o número de Reynolds Re = rho,v,dpmu serve pra gente saber se o escoamento é laminar (viscoso) ou turbulento (inercial). Em meio poroso, a gente costuma definir um Reynolds característico usando o diâmetro médio dos grãos:
onde é a densidade do fluido.
  • Se , as forças viscosas dominam (escoamento laminar).
  • Se cresce, as forças de inércia passam a importar e o escoamento deixa de ser puramente linear.

Passo 4

A relação chave: a lei de Darcy só “funciona” (fica certinha, linear) quando -nabla p = muk,v ;+; beta,rho,v^2 tá pequeno.
• Para –10 (depende do material), a pressão cai linearmente com a velocidade e Darcy vale.
• Quando aumenta além desse patamar, aparecem termos não-lineares (inércia). Aí entra a correção de Forchheimer:
Em que é um fator relacionado à geometria do meio. Esse segundo termo representa a contribuição inercial que não existe na lei original de Darcy.

Resposta

A lei de Darcy é válida quando o escoamento em meio poroso é laminar, ou seja, para números de Reynolds pequenos ( –10), pois aí as forças viscosas dominam e a relação entre gradiente de pressão e velocidade é linear. Para maiores, surgem efeitos inerciais que obrigam a corrigir Darcy (por exemplo com a equação de Forchheimer), mostrando que Reynolds controla exatamente o limite de validade da lei de Darcy.

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