Explique se a série converge ou diverge(a constante
é maior que 1).
Passo 1
O enunciado nos dá a série
com a constante
. Queremos decidir se ela converge ou diverge. Como todos os termos são positivos para
suficientemente grande (por exemplo
), aplicaremos o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes.
Passo 2
Definimos a função
válida para
. Observa-se que
é positiva e, verificando por derivada, também decrescente para
. Assim, podemos usar o teste da integral comparando
com
Passo 3
Para calcular
fazemos primeiro a substituição
de modo que a integral vira
Passo 4
Em seguida, fazemos a segunda substituição
e a integral transforma-se em
Como
, essa integral impropria converge, pois
Passo 5
Pelo teste da integral, se
converge, então a série
também converge.
converge, então a série
também converge.
Resposta
A série converge.