Explique como verificar se determinado ponto do plano s faz parte do lugar das raízes de um sistema.

Passo 1

O problema pedido é: dado um sistema em malha aberta cujo ganho varia multiplicando uma função racional (i.e. dado L(s)=K\;G(s), com G(s) conhecido) e dado um ponto qualquer s_0 do plano complexo, como verificar se existe algum valor real e positivo de K tal que s_0 seja uma raiz do polinômio característico em malha fechada?
Informações relevantes que o enunciado fornece (implicitamente):
  1. Existe uma função de laço aberto L(s)=K\,G(s), onde G(s) é conhecida (polos e zeros conhecidos) e K é o ganho real que varia.
  2. Queremos testar se um ponto s_0\in\mathbb{C} pertence ao lugar das raízes (isto é, se para algum K\ge 0 ele satisfaz a equação característica).
  3. A equação característica em malha fechada é \displaystyle 1+K\,G(s)=0.

Passo 2

Entender a condição fundamental (explicação didática).
A equação que determina as raízes em malha fechada é
1 + K\,G(s) = 0.
Reescrevendo:
K\,G(s) = -1.
Isso é uma igualdade entre números complexos. Toda igualdade complexa implica duas condições simultâneas: igualdade de módulo (magnitude) e igualdade de argumento (fase). Vamos separar isso em duas condições práticas que usaremos no teste:
  1. Condição de fase (ângulo): \arg\big(K\,G(s)\big) = \arg(-1) = (2k+1)\pi, para algum inteiro k.
  2. Condição de magnitude: |K\,G(s)| = 1, ou seja K = 1/|G(s)|.
Agora, observe que se K>0 (caso usual do lugar das raízes), \arg(K)=0. Então a condição de fase fica simplesmente
\arg\big(G(s)\big) = (2k+1)\pi,
ou seja, o argumento de G(s) deve ser um múltiplo ímpar de \pi. Após confirmar a fase, o valor de K necessário é
K = \frac{1}{\big|G(s)\big|}.
E devemos verificar que esse K é não negativo (normalmente queremos K>0). Se as duas condições são satisfeitas, então existe K que faz s ser raiz da equação característica — logo s pertence ao lugar das raízes.

Passo 3

Como calcular \arg(G(s_0)) na prática (explicação passo-a-passo e intuição geométrica).
  1. Escreva G(s) na forma fatorada (sem o K):
G(s)=\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots},
onde z_i são os zeros e p_j os polos de G(s).
2. Use a propriedade dos argumentos de produto/razão:
\arg\big(G(s_0)\big)=\sum_i \arg(s_0-z_i)\;-\;\sum_j \arg(s_0-p_j).
Cada termo \arg(s_0-a) é o ângulo do vetor que vai do ponto a (zero ou polo) até o ponto s_0 no plano complexo. Geometricamente: desenhe vetores de cada polo/zero até s_0 e some as direções (com sinal positivo para zeros e negativo para polos).
3. Para calcular numericamente cada \arg(s_0-a) você pode usar a função de quatro quadrantes:
\arg(x+jy)=\operatorname{atan2}\big(\operatorname{Im}(x+jy),\operatorname{Re}(x+jy)\big).
No papel, para números com coordenadas reais simples, calcule as tangentes e atente ao quadrante (sinal de real e imaginário). Lembre-se que ângulos são tomados módulo 2\pi: portanto -\pi é equivalente a \pi para a condição de fase.

Passo 4

Regra rápida para pontos reais no eixo real (método prático muito usado em prova).
Se s_0 estiver no eixo real ( s_0\in\mathbb{R}), existe um teste prático sem calcular ângulos: um ponto do eixo real pertence ao lugar das raízes se, na metade direita (ou seja, contando polos/zeros com abscissa maior que s_0), houver um número ímpar de polos e zeros do laço aberto. Esse é um corolário da condição de fase (cada polo/zero à direita contribui com \pi à soma de ângulos). Use essa regra quando trabalhar só com pontos reais — é rápido e confiável na prova.

Passo 5

Exemplo concreto e pequeno (vou mostrar o cálculo passo a passo, para você replicar na prova).
Considere G(s)=\dfrac{1}{s(s+2)} e teste s_0=-1. (Escolhi esse exemplo porque é simples e mostra a técnica.)
  1. Identifique polos e zeros: polos em p_1=0 e p_2=-2; não há zeros.
  2. Calcule os vetores: s_0-p_1 = -1-0 = -1 e s_0-p_2 = -1 - (-2) = 1.
  3. Ângulos:
    • \arg(s_0-p_1)=\arg(-1)=\pi.
    • \arg(s_0-p_2)=\arg(1)=0.
  4. Como não há zeros, \arg(G(s_0)) = 0 - (\pi + 0) = -\pi. Modulo 2\pi, -\pi é equivalente a \pi, que é da forma (2k+1)\pi. Logo a condição de fase é satisfeita.
  5. Magnitude: |G(s_0)| = \dfrac{1}{|s_0|\;|s_0+2|} = \dfrac{1}{1\cdot 1}=1. Assim K=\dfrac{1}{|G(s_0)|}=1>0.
    Conclusão do exemplo: s_0=-1 pertence ao lugar das raízes (para K=1).

Passo 6

Casos especiais e observações úteis para a prova (não pule isso — cai direto em questões práticas).
  1. Se s_0 coincide exatamente com um polo aberto, ele é um ponto do lugar das raízes para K=0 (as raízes em K=0 são os polos abertos). Normalmente desenhamos o lugar das raízes incluindo o ponto inicial dos ramos nos polos para K=0.
  2. Se s_0 coincide com um zero aberto, esse ponto é alcançado apenas no limite K\to\infty (os ramos do lugar terminam nos zeros quando K\to\infty). Portanto se você encontrar exatamente um zero, saiba que é um ponto-limite do locus.
  3. Para pontos complexos com parte imaginária não nula: calcule os ângulos de cada vetor com atenção ao quadrante (use \operatorname{atan2}) e some; verifique a congruência com (2k+1)\pi. A seguir calcule K. Em prova, work with angles em graus ou radianos consistentemente.
  4. Se a condição de fase falhar (não é (2k+1)\pi para nenhum inteiro k), então não existe K real que coloque s_0 no locus — pare aí.

Passo 7

Algoritmo-resumo (passos práticos para aplicar rápido na prova):
  1. Escreva G(s) sem o K.
  2. Calcule \arg(G(s_0)) somando contribuições \arg(s_0-z_i) e subtraindo \arg(s_0-p_j).
  3. Verifique se \arg(G(s_0))\equiv(2k+1)\pi (módulo 2\pi) para algum inteiro k. Se não for, conclua que s_0 não pertence ao lugar das raízes.
  4. Se for, calcule K=\dfrac{1}{|G(s_0)|}. Verifique se K\ge 0 (normalmente queremos K>0).
  5. Se K\ge 0, então s_0 pertence ao lugar das raízes e o valor do ganho que o coloca lá é esse K.

Resposta

  1. Verifique a condição de fase: \displaystyle \arg\big(G(s_0)\big)\equiv(2k+1)\pi (módulo 2\pi) para algum k\in\mathbb{Z}.
  2. Se a fase for satisfeita, calcule \displaystyle K=\frac{1}{\big|G(s_0)\big|}. Se esse K for >0 (ou \ge 0 conforme o problema), então s_0 pertence ao lugar das raízes (caso contrário não pertence).

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